Ejercicios: Monotonía de una función

Observa la siguiente gráfica que representa la evolución del número de usuarios de una nueva aplicación móvil en sus primeras 8 horas de lanzamiento. Identifica, simplemente observando el dibujo, los intervalos de tiempo en los que el número de usuarios está creciendo y aquellos en los que está decreciendo.

Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 6x + 8$, realiza los siguientes pasos para estudiar su monotonía:

1. Calcula su función derivada $f'(x)$.

2. Halla el valor de $x$ para el cual la derivada es igual a cero.

3. Determina el signo de la derivada en los intervalos creados por ese punto y di en cuál de ellos la función crece y en cuál decrece.

Un estudio de mercado indica que el beneficio diario de una pequeña empresa textil (en cientos de euros) viene dado por la función $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la apertura. Utiliza la derivada para encontrar en qué intervalo de tiempo el beneficio de la empresa está aumentando.

Dada la función $f(x) = 2x^3 - 6x$, queremos saber cómo se comporta cerca del origen. Calcula la pendiente de la recta tangente (la derivada) en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$. Basándote únicamente en el signo de esos resultados, indica si la función es creciente o decreciente en cada uno de esos puntos.

Considera la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 5$.

1. Calcula $f'(x)$.

2. Resuelve la ecuación $f'(x) = 0$ para encontrar los puntos críticos.

3. Representa los puntos en la recta real y estudia el signo de la derivada para escribir los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Sabemos que una función $g(x)$ tiene como derivada $g'(x) = x - 4$. Sin necesidad de conocer la expresión de $g(x)$, determina para qué valores de $x$ la función original $g(x)$ es creciente y para cuáles es decreciente. Justifica tu respuesta utilizando el concepto de derivada.

Comprueba si la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es siempre creciente en todo su dominio. Para ello, calcula su derivada y explica qué relación tiene el resultado obtenido con la pendiente de la recta.

La altura de un balón de baloncesto (en metros) al ser lanzado viene modelada por la función $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $t$ es el tiempo en segundos.

1. Calcula la velocidad instantánea del balón derivando la función altura.

2. Determina el intervalo de tiempo en el que el balón está subiendo (crecimiento de la función altura).

Una empresa de servicios de streaming ha detectado que el número de suscriptores nuevos diarios, en miles, sigue la función $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, donde $t$ representa el tiempo en meses desde el inicio de una campaña publicitaria ($0 \leq t \leq 15$).

a) Determina los intervalos de tiempo en los que el crecimiento de nuevos suscriptores es positivo (la función es creciente).

b) ¿A partir de qué mes la tendencia cambia y el número de suscriptores nuevos diarios empieza a disminuir? Justifica la respuesta mediante el estudio de la derivada primera.

Estudia la monotonía de la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Este tipo de funciones suelen modelar el coste medio de producción en Ciencias Sociales. Indica razonadamente los intervalos donde el coste medio está disminuyendo y aquellos donde está aumentando, teniendo en cuenta que en este contexto solo tienen sentido los valores de $x > 0$.

Dada la función $f(x) = x^3 + kx^2 + 15x + 2$, calcula los valores del parámetro $k$ para que la función sea estrictamente creciente en todo el dominio de los números reales.

Un estudio sociológico analiza el interés de los adolescentes por una nueva tendencia en redes sociales. El porcentaje de la población que sigue la tendencia viene dado por la función $P(t) = \dfrac{50t}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en semanas ($t \geq 0$).

Determina en qué periodos de tiempo la tendencia está en auge (crecimiento) y cuándo empieza a perder interés entre los jóvenes (decrecimiento).

A continuación se muestra la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una función polinómica $f(x)$. A partir de la observación de la gráfica de la derivada, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \leq 0 \\ \ln(x+1) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la monotonía de la función en todo su dominio. ¿Existe algún punto donde la función pase de crecer a decrecer o viceversa? Justifica si en $x=0$ hay un cambio en el comportamiento de la función.

El beneficio de una startup tecnológica, en cientos de miles de euros, se modeliza mediante la función $B(x) = (x-2) \cdot e^{0,5x}$, donde $x$ es el número de años desde su fundación ($x \geq 0$).

estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio. ¿Durante cuánto tiempo la empresa obtuvo beneficios decrecientes (o pérdidas crecientes) antes de empezar a mejorar su situación financiera de forma sostenida?

Dada la función $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2 + 3}$, determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. A partir de este estudio, indica si la función presenta algún máximo o mínimo relativo, especificando el valor de $x$ donde se encuentran.

Una productora estudia la evolución de la audiencia de un documental recién estrenado. El número acumulado de espectadores, en miles, sigue la función $R(t) = (t^2 + at + 10) \cdot e^{-0,5t}$, donde $t$ es el tiempo en semanas desde el estreno ($t \ge 0$). Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la audiencia sea estrictamente decreciente durante las primeras doce semanas (intervalo $[0, 12]$) y describe cómo afecta el signo de dicho parámetro a la "velocidad" con la que cae la audiencia.

La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$ definida en todo $\mathbb{R}$. A partir de la observación de la gráfica de la derivada, realiza un estudio exhaustivo de la monotonía de la función original $f(x)$, indicando sus intervalos de crecimiento, decrecimiento y las abscisas donde se alcanzan sus máximos y mínimos relativos. Justifica si es posible que la función $f(x)$ sea un polinomio de tercer grado basándote en el número de cambios de monotonía.

Una empresa de mensajería ha determinado que el coste operativo diario de su flota de vehículos eléctricos depende de la velocidad media $v$ (en km/h) según la función $C(v) = \frac{2v^2 + 450}{v-10}$ para velocidades superiores a $10 \text{ km/h}$.

1. a) Estudia la monotonía de la función de coste e indica a partir de qué velocidad el coste empieza a ser ineficiente (cuando el coste vuelve a crecer).
2. b) Si por normativas de tráfico la velocidad media debe estar comprendida en el intervalo $[20, 60]$, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento dentro de ese dominio restringido.

Se considera la función dependiente de dos parámetros $a$ y $b$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Halla los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 1$. Una vez obtenidos, estudia la monotonía de la función resultante en todo su dominio $\mathbb{R}$. ¿Presenta la función algún cambio de monotonía en el punto de unión de las dos ramas? Justifica tu respuesta utilizando las derivadas laterales.

El número de usuarios activos de una red social juvenil durante las primeras 24 horas tras el lanzamiento de un reto viral viene dado por la función $U(t) = \frac{100t^2}{t^3 + 16}$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Determina los intervalos de tiempo en los que el reto está ganando popularidad y en los que está perdiendo interés.
2. b) Encuentra el momento exacto en el que el crecimiento de usuarios es máximo (es decir, cuando la velocidad de crecimiento $U'(t)$ alcanza su mayor valor). Pista: Estudia la monotonía de la función derivada.

Dada la función $f(x) = \frac{e^x}{x^2 - k}$, estudia su monotonía en función de los valores del parámetro real $k$. En particular, demuestra que si $k < 0$, la función tiene un único intervalo de decrecimiento. Para el caso $k = 4$, determina todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento, teniendo en cuenta las discontinuidades de la función.

Un estudio sociológico analiza el nivel de "estrés colectivo" $S$ en una ciudad durante un evento que dura 8 horas. La función que lo modela es $S(t) = |t^2 - 6t + 5| + 2t$, con $t \in [0, 8]$.

1. a) Expresa la función $S(t)$ como una función definida a trozos.
2. b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento del nivel de estrés.
3. c) Identifica los puntos donde la función no es derivable y explica si en alguno de esos puntos se produce un cambio en la monotonía de la función.

Sea la función $f(x) = x^2 - \ln(x^2 - 1)$.

1. a) Determina el dominio de definición de la función.
2. b) Estudia la monotonía de la función, indicando claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. c) Demuestra razonadamente que la función es siempre creciente para cualquier valor de $x$ mayor que $\sqrt{2}$. ¿Qué ocurre en el intervalo $(1, \sqrt{2})$? Explica el comportamiento de la función cerca de sus asíntotas verticales en relación con su monotonía.