Ejercicios: Extremos relativos

Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa la evolución del número de usuarios activos en una nueva aplicación móvil durante las primeras 8 horas de la mañana. Identifica las coordenadas $(x, y)$ de los máximos y mínimos relativos que aparecen en el dibujo.

Dada la función de beneficios de una pequeña empresa textil, definida por $B(x) = -x^2 + 10x - 16$, donde $x$ es el número de prendas fabricadas (en cientos):

1. Calcula la función derivada $B'(x)$.

2. Halla el valor de $x$ que anula la derivada (punto crítico).

3. Determina si ese punto corresponde a un máximo o a un mínimo relativo.

Un "influencer" ha comprobado que el número de "likes" de sus publicaciones sigue la función $L(t) = t^3 - 3t^2 + 4$, donde $t$ es el tiempo en horas desde la publicación ($0 \le t \le 3$).

Calcula los puntos críticos de la función en ese intervalo resolviendo la ecuación $L'(t) = 0$.

Clasifica los extremos relativos de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$ utilizando el criterio de la segunda derivada. Para ello:

1. Halla $f'(x)$ y busca el valor de $x$ tal que $f'(x) = 0$.

2. Halla $f''(x)$ y comprueba su signo en el valor obtenido anteriormente.

Dada la siguiente gráfica de la función derivada $f'(x)$, indica para qué valores de $x$ la función original $f(x)$ tiene un máximo o un mínimo relativo. Justifica tu respuesta basándote en el cambio de signo de la derivada.

Halla los extremos relativos de la función polinómica $f(x) = \frac{x^3}{3} - 4x + 5$. Indica las coordenadas completas $(x, y)$ de cada extremo identificado.

Se sabe que una función $f(x)$ tiene un punto crítico en $x = 3$. Si la segunda derivada es $f''(x) = 2x - 10$, utiliza el valor de $f''(3)$ para determinar si en $x = 3$ hay un máximo relativo o un mínimo relativo.

La función $C(x) = 2x^2 - 8x + 20$ describe los costes de mantenimiento de un servidor web en función de la carga de trabajo $x$.

Representa esquemáticamente la parábola y encuentra el valor de $x$ que minimiza el coste.

Un creador de contenido ha analizado la evolución de las visualizaciones de sus videos durante las primeras 10 horas tras su publicación. La función que describe el número de visualizaciones acumuladas (en miles) viene dada por $V(t) = -t^3 + 12t^2 + 60t$, donde $t$ es el tiempo en horas, con $t \in [0, 10]$.

Calcula en qué momento el número de visualizaciones crece con mayor rapidez. Para ello, halla el valor de $t$ que maximiza la función de ritmo de crecimiento $V'(t)$ y determina los extremos relativos de la función original $V(t)$ en dicho intervalo.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función polinómica $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x + 4$ tenga un máximo relativo en el punto $P(1, 8)$. Una vez hallados los valores, comprueba mediante la segunda derivada si realmente se trata de un máximo o de un mínimo.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada $f'(x)$ de una función continua $f(x)$. A partir de la información visual, identifica razonadamente las abscisas de los puntos donde la función original $f(x)$ presenta sus máximos y mínimos relativos. Explica qué criterio utilizas para diferenciar entre un máximo y un mínimo a partir del signo de $f'(x)$.

Una empresa de mensajería ha determinado que el coste medio de entrega de un paquete depende de la distancia $x$ (en km) al centro de distribución según la función:

$C(x) = \dfrac{2x^2 + 32}{x}$ para $x > 0$.

Halla la distancia $x$ a la que el coste de entrega es mínimo. Justifica que el valor obtenido es efectivamente un mínimo relativo utilizando el criterio de la primera o segunda derivada.

La eficacia de un nuevo fármaco para el estudio de la memoria en adolescentes se mide en una escala de 0 a 10. Tras la ingesta, la eficacia $E$ al cabo de $t$ horas viene dada por la función exponencial:

$E(t) = 10t \cdot e^{-0,2t}$ para $t \ge 0$.

Determina el instante $t$ en el que el fármaco alcanza su máxima eficacia. Indica el valor de dicha eficacia máxima y confirma si es un extremo relativo.

Sea la función racional $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y localiza sus extremos relativos. ¿Tiene esta función algún punto donde la derivada se anule pero no sea ni máximo ni mínimo? Razona tu respuesta.

Se considera la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{3}{x+1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Estudia la continuidad y derivabilidad en $x = 0$. Basándote en el estudio anterior y en el cálculo de la derivada en cada tramo, determina si la función presenta un máximo o un mínimo relativo en $x = 0$.

Un departamento de marketing estima que los beneficios mensuales de una campaña publicitaria (en euros) siguen la función $B(x) = -x^3 + 15x^2 + 600x - 1000$, donde $x$ es el número de canales de difusión utilizados ($x \in [1, 30]$).

Halla el número de canales que maximiza el beneficio mensual. Distingue entre los extremos relativos que se encuentran en el interior del intervalo y los valores que toma la función en los bordes del dominio para asegurar el máximo absoluto.

Una agencia de marketing digital ha determinado que el nivel de interacción (engagement) de una campaña en redes sociales sigue la función $E(t) = \frac{at}{1 + bt^2}$, donde $t$ es el tiempo en días desde el lanzamiento. Se sabe que el máximo nivel de interacción se alcanza exactamente a los 4 días y que, en ese momento, el valor del engagement es de 10 unidades.

1. a) Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$.
2. b) Justifica, mediante el criterio de la segunda derivada, que en $t = 4$ existe efectivamente un máximo relativo.
3. c) ¿Qué ocurre con el engagement a muy largo plazo? Interpreta el resultado.

Se considera la función de beneficios de una startup tecnológica definida a trozos para los dos primeros años ($t \in [0, 24]$ meses):

$B(t) = \begin{cases} t^2 - 12t & \text{si } 0 \le t < 12 \\ \ln(t - 11) + k & \text{si } 12 \le t \le 24 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor de $k$ para que la función sea continua en $t = 12$.
2. b) Para el valor de $k$ hallado, estudia si la función es derivable en $t = 12$.
3. c) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y halla los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función en el intervalo total.

Un estudio logístico para una empresa de reparto de comida a domicilio estima que el coste operativo horario depende de la velocidad media $v$ (en km/h) de sus repartidores según la función:

$C(v) = 2v^2 + \frac{16000}{v} + 50$ para $v > 0$.

1. a) Calcula la velocidad óptima que minimiza el coste operativo.
2. b) Demuestra que no existen máximos relativos para esta función en su dominio.
3. c) Si por normativa de seguridad la velocidad media no puede superar los 15 km/h, ¿cuál sería el coste mínimo real que la empresa podría alcanzar?

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, halla los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función presenta un punto de inflexión en $x = 1$, un extremo relativo en $x = 2$ y que la gráfica pasa por el punto $(0, 5)$. Una vez hallados los parámetros, clasifica todos los extremos relativos de la función.

Un "influencer" analiza la viralidad de sus vídeos. El número de visualizaciones diarias $V$ (en miles) tras $t$ horas de publicación sigue el modelo $V(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$.

1. a) ¿En qué momento exacto del día alcanza el vídeo su pico máximo de visualizaciones?
2. b) Determina los intervalos de tiempo en los que el ritmo de crecimiento de las visualizaciones está aumentando (usa la segunda derivada).
3. c) Calcula el valor máximo de visualizaciones diarias.

Halla los extremos relativos de la función $f(x) = \frac{\ln(x^2)}{x}$. Presta especial atención al dominio de la función y a la simetría de la misma para simplificar el estudio. Justifica si los extremos hallados son máximos o mínimos absolutos en el intervalo $(0, +\infty)$.

Se desea diseñar una valla publicitaria rectangular de $18$ $m^2$ de superficie. El coste del marco superior e inferior es de $20$ € por metro lineal, mientras que el coste de los laterales es de $15$ € por metro lineal. Además, por motivos estéticos, la altura de la valla no puede ser inferior a $2$ metros ni superior a $5$ metros.

1. a) Expresa la función de coste total del marco en función de la anchura $x$.
2. b) Determina las dimensiones de la valla que minimizan el coste total dentro de las restricciones dadas.
3. c) ¿Cuál es ese coste mínimo?

Sea la función $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^x$.

1. a) Expresa la función sin valores absolutos.
2. b) Estudia la derivabilidad en los puntos $x = -2$ y $x = 2$.
3. c) Determina todos los máximos y mínimos relativos de la función. Indica cuáles de ellos corresponden a puntos donde la función no es derivable (puntos angulosos).