Progresiones aritméticas
Regina entrena para el maratón de la Ciudad de México: el primer día corre 12 km y cada día aumenta la misma distancia. ¿Cuánto habrá corrido en total cuando llegue a 42 km en un día? Cuando se suma siempre una cantidad fija, tienes una progresión aritmética. En este apartado la usarás para plantear ecuaciones y sistemas, y para resolver problemas.
Término general y diferencia
La fórmula tiene sentido porque para llegar de $a_1$ a $a_n$ das $n-1$ saltos, cada uno de tamaño $d$.
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Escribe el término general y calcula el término vigésimo de la siguiente progresión aritmética: $7, 11, 15, 19, \dots$
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
Dada la sucesión definida por el término general $b_n = 5 - 3n$, demuestra que se trata de una progresión aritmética y determina el valor de su diferencia.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
El octavo término de una progresión aritmética es $32$ y su diferencia es $d = 4$. Halla el primer término $a_1$ y la expresión de su término general $a_n$.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
Averigua si el número $102$ pertenece a la progresión aritmética cuyo término general es $c_n = 4n - 6$. En caso afirmativo, indica qué posición ocupa en la sucesión.
Hallar la diferencia con dos términos
Si conoces dos términos no consecutivos, puedes plantear un sistema con $a_1$ y $d$ como incógnitas, o contar los «saltos» entre ellos y despejar $d$ directamente.
Con sistema sería: $a_1+3d=15$ y $a_1+9d=39$. Restas las ecuaciones (método de suma y resta) y obtienes $6d=24$.
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = -5$ y la diferencia es $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del término que ocupa la posición $40$.
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = -5$ y la diferencia es $d = \frac{3}{2}$. Calcula el valor del término que ocupa la posición $40$.
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el…
En una progresión aritmética se sabe que el cuarto término es $15$ y el décimo término es $39$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la diferencia $d$ y el primer término $a_1$. Posteriormente, halla la suma de los $20$ primeros términos de dicha progresión.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
Interpola cinco medios aritméticos entre los números $-8$ y $22$. Escribe la progresión aritmética completa resultante indicando su diferencia.
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión…
Determina los valores del parámetro $k$ para que las expresiones algebraicas $k^2 - 2$, $3k + 1$ y $k^2 + 4k$ sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética. Para cada valor de $k$ hallado, escribe los tres términos correspondientes.
La suma de los primeros términos
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
Calcula la suma de los primeros $30$ términos de una progresión aritmética sabiendo que el primer término es $a_1 = 4$ y el trigésimo término es $a_{30} = 91$.
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de…
En una progresión aritmética, el primer término es $a_1 = 3$ y la diferencia es $d = 2$. Si la suma de los $n$ primeros términos es $S_n = 360$, plantea la ecuación de segundo grado correspondiente y determina el número de términos $n$ que se han sumado.
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición…
En una progresión aritmética de diferencia $d = 3$, el primer término es $a_1 = -10$. Calcula la suma de los términos comprendidos entre la posición $20$ y la posición $40$, ambas inclusive.
De la suma al término general
A veces te dan la suma $S_n$ como expresión en $n$ y te piden el término $a_n$. La idea: $S_n$ incluye todos los términos hasta el $n$-ésimo, y $S_{n-1}$ todos menos el último. Al restar queda justo el último.
La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y…
La suma de los $n$ primeros términos de una sucesión viene dada por la expresión $S_n = 2n^2 + 5n$. Encuentra la expresión matemática del término general $a_n$ y demuestra rigurosamente que dicha sucesión es una progresión aritmética.
Problemas con progresiones aritméticas
Butacas en un teatro, tubos apilados, ángulos de un polígono… Pregúntate siempre: ¿se suma lo mismo cada vez? ¿me piden un término o una suma? ¿cuántos términos hay en realidad?
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1.5$ km…
Una ciclista comienza su plan de entrenamiento recorriendo $12$ km el primer día. Para mejorar su resistencia, cada día aumenta la distancia de su recorrido en $1.5$ km respecto al día anterior. ¿En qué día de su entrenamiento recorrerá exactamente $42$ km? ¿Cuántos kilómetros totales habrá recorrido sumando todos los días hasta ese día inclusive?
Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión…
Un teatro tiene sus butacas distribuidas en forma de abanico. La primera fila tiene $20$ butacas, la segunda $24$, la tercera $28$, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si el teatro tiene un total de $15$ filas, ¿cuántas butacas hay en la última fila? ¿Cuál es el aforo total (número total de butacas) del teatro?
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco…
Los ángulos interiores de un hexágono convexo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $140^\circ$, calcula la medida de los otros cinco ángulos interiores del hexágono. (Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $180^\circ \times (n-2)$).
Interés simple y pagos crecientes
En el interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial $C$, sin sumarse a él. Cada periodo se añade la misma cantidad, así que el monto crece como una progresión aritmética.
Lo mismo ocurre con pagos en los que cada cuota sube una cantidad fija: la suma de todas las cuotas es $S_n$, y la primera y la última cuota son $a_1$ y $a_n$.
Una empresa constructora establece un plan de bonificaciones mensuales para motivar a sus empleados. El primer mes un empleado recibe $1\,000$ pesos, el segundo mes…
Una empresa constructora establece un plan de bonificaciones mensuales para motivar a sus empleados. El primer mes un empleado recibe $1\,000$ pesos, el segundo mes $1\,300$ pesos, el tercer mes $1\,600$ pesos, y así sucesivamente. ¿Cuánto dinero en total habrá recibido el empleado en concepto de bonificaciones al cabo de $2$ años completos de trabajo?
Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la…
Para repoblar un bosque tras un incendio, una brigada forestal planta árboles de manera progresiva. La primera semana logran plantar $120$ árboles, pero debido a la fatiga acumulada y a la menor disponibilidad de terreno accesible, cada semana plantan $5$ árboles menos que la semana anterior. ¿Cuántas semanas transcurrirán hasta que la brigada haya plantado un total exacto de $1470$ árboles? (Nota: Analiza matemáticamente las posibles soluciones y justifica cuál tiene sentido en el contexto del problema).
Una empresa adquiere una máquina industrial por $640\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se sabe…
Una empresa adquiere una máquina industrial por $640\,000$ pesos y llega a un acuerdo para pagarla en cuotas mensuales que forman una progresión aritmética. Si se sabe que la primera cuota a pagar es de $10\,000$ pesos y la última cuota será de $54\,000$ pesos, ¿en cuántos meses saldará la empresa su deuda? ¿Cuál es el incremento mensual exacto de la cuota respecto al mes anterior?