Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones
Regina tiene un canal con $\frac{n^2+5n}{n+2}$ miles de seguidores al mes $n$, y su amigo Mateo tiene $n$ miles. Los dos crecen sin parar, así que su diferencia parece un "$\infty-\infty$". ¿Cuánto se separan a la larga? Al final de la página lo resolvemos.
Álgebra de límites
También se vale con infinitos cuando el resultado está determinado: $\infty+\infty=+\infty$, $k\times\infty=\pm\infty$ (con $k\neq0$) y $\frac{k}{\infty}=0$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \times b_n)$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \times b_n)$.
Catálogo de indeterminaciones
$\frac{\infty}{\infty}$ con polinomios: compara grados
Cuando $n$ es muy grande, en un polinomio manda el término de mayor grado. Por eso, en un cociente de polinomios sólo importan los términos líderes.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Desarrollar antes de comparar
A veces el numerador o el denominador vienen en forma de potencias, productos o sumas largas. Primero se desarrolla y se simplifica, y luego se comparan grados.
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el…
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el número de seguidores en miles. ¿Hacia qué valor se estabiliza la audiencia del canal a muy largo plazo?
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión…
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:…
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
Cocientes con exponenciales
Con potencias $a^n$ de bases distintas, gana la base mayor (si $a>1$, $a^n$ crece más rápido cuanto mayor es $a$). Se divide entre la potencia de la base más grande.
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación…
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación cuando $n \to \infty$.
$\infty-\infty$ con fracciones
Si las dos sucesiones son fracciones algebraicas, se restan como fracciones: denominador común, se simplifica y se aplica el criterio de grados.
Con esto respondemos al gancho: la diferencia entre Regina y Mateo tiende a $3$ mil seguidores. Los dos crecen sin límite, pero la brecha se estabiliza.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas: $d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas:
$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
$\infty-\infty$ con un radical: el conjugado
Si hay una raíz restada de algo, se multiplica y divide por el conjugado (la misma expresión con el signo central cambiado). Se usa el producto notable $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$, que elimina la raíz.
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite…
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión…
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina el valor del límite de la sucesión $E_n$ cuando $n \to \infty$.
Dos radicales y cocientes con raíces
Si hay dos raíces restadas, el conjugado es la suma de las dos raíces. Si hay raíces en un cociente, primero se estudia cuánto vale cada parte.
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador: $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este…
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este índice cuando $n \to \infty$.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:…
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
La indeterminación $1^{\infty}$ y el número $e$
Cuando la base tiende a $1$ y el exponente a infinito, el resultado no es $1$: la base nunca es exactamente $1$, y ese pequeño "extra" se multiplica muchas veces. Es la situación de un ahorro con interés compuesto.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
$1^{\infty}$ con polinomios y exponentes que crecen
Cuando la base es un cociente de polinomios que tiende a $1$ (mismo grado y mismo coeficiente líder), se resta $1$, se simplifica y se multiplica por el exponente.
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados…
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados Celsius por encima de la temperatura ambiente. Determina el límite de esta temperatura.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Parámetros en un límite
Cuando el límite debe ser un valor dado, se calcula el límite dejando el parámetro como letra y luego se iguala.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración…
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración límite a largo plazo es $e^6$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$?