Teorema del resto

Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.

Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.

Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.

La posición de un objeto en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del residuo para calcular la posición del objeto en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinomial de $x(t)$ entre $t - 3$.

Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.

Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.

Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.

Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.

Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.

Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.

Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.

Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.

La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por $T$, que a $T=1$ su valor es $4$, a $T=-1$ su valor es $0$ y a $T=2$ su valor es $18$. Formula el sistema de ecuaciones correspondiente utilizando el teorema del resto y halla la expresión analítica del polinomio $C(T)$.

Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por $x - 1$ deja un resto de $15$, y que su término independiente es $-12$.

El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 10q^4 - 60q^3 + 100q^2 + 240$ (en miles de pesos). Aplica el teorema del residuo para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).

El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.

La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.

El perfil de un canal de drenaje en un proyecto arquitectónico sigue la ecuación $y = P(x) = -kx^3 + 2kx^2 - 5x + c$, donde $y = 0$ representa el nivel del suelo. Se sabe que el perfil corta el nivel del suelo en los puntos $x = 5$ y $x = -2$. Halla los valores exactos de $k$ y $c$ empleando el teorema del factor y determina la cota del perfil (altura respecto al suelo, negativa si queda por debajo) en el punto $x = 1$.

Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$, plantea el sistema de ecuaciones pertinente y determina los coeficientes $a$ y $b$.

En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.

Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.

Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.

Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.

Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.

Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.