Tabla y gráfica de una función
Un estacionamiento cobra una tarifa fija más una cantidad por hora, y Ximena quiere ver de un vistazo cuánto pagará según el tiempo que deje su carro. Para eso hay que saber graficar: elegir bien los valores de $x$, calcular sus imágenes y unir los puntos con criterio. ¿Cómo se escogen los puntos que sí valen la pena? Lo vemos en esta página.
Tabla de valores: qué puntos elegir
Una tabla de valores asocia a cada $x$ su imagen $f(x)$. Cada pareja $(x, f(x))$ es un punto de la gráfica en el plano cartesiano.
Para una función lineal $f(x)=mx+b$ bastan dos puntos, pero conviene un tercero de comprobación. La ordenada al origen es $f(0)=b$, y el corte con el eje $X$ sale de resolver $mx+b=0$.
Para una cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, el vértice está en $x_v=-\dfrac{b}{2a}$. Los cortes con el eje $X$ se obtienen con la fórmula general, y el corte con el eje $Y$ es $c$. Después se toman puntos a ambos lados del vértice: la parábola es simétrica respecto a la recta $x=x_v$.
Cuando la función es exponencial o logarítmica, conviene elegir $x$ que den resultados exactos. Por ejemplo, en $N(t)=100\cdot2^t$ se toman $t=0,1,2,3,4$.
Función logarítmica: dominio y asíntota vertical
El logaritmo solo existe para argumentos positivos: $\log_2(u)$ requiere $u>0$. Por eso el dominio de $f(x)=\log_2(x+4)$ sale de $x+4>0$, es decir, $x>-4$, o $(-4,\infty)$.
Cuando $x$ se acerca a $-4$ por la derecha, el argumento $x+4$ se acerca a $0^+$ y $\log_2(x+4)$ baja sin límite. Por eso la recta $x=-4$ es una asíntota vertical: la gráfica se acerca a ella sin tocarla.
Para la tabla se eligen $x$ tales que $x+4=\tfrac12,1,2,4,8$, es decir, $x=-3.5,-3,-2,0,4$, y así los logaritmos valen $-1,0,1,2,3$.
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$: a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$. b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano…
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:
- a) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
- b) Representa gráficamente la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$: a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla. b) Dibuja la gráfica de la…
Considera la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:
- a) Calcula las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
- b) Dibuja la gráfica de la función e identifica las coordenadas de su vértice.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes. b) Crea una tabla de…
Considera la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
- a) Calcula analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de corte con los ejes.
- b) Crea una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
- c) Representa gráficamente la parábola.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
¿Esta gráfica es una función? La prueba de la recta vertical
Una función da una sola imagen para cada $x$. En una gráfica eso se ve así: si trazas una recta vertical en cualquier posición, debe cortar la curva a lo más en un punto.
Tablas para detectar el tipo de función
Si los valores de $x$ avanzan de uno en uno, las diferencias entre valores consecutivos de $y$ dicen qué tipo de función es.
-
Si la primera diferencia es constante, la función es lineal y esa diferencia es la pendiente $m$.
-
Si la primera diferencia cambia pero la segunda es constante, es cuadrática.
Por ejemplo, con $y=1,4,7,10,13$ las diferencias son $3,3,3,3$: es lineal con $m=3$. Como $f(0)=4$, queda $y=3x+4$.
Cuando se conocen tres puntos de una cuadrática $ax^2+bx+c$, cada punto da una ecuación y se resuelve el sistema de $3\times3$ en $a$, $b$ y $c$. Como un punto suele ser el corte con el eje $Y$, $c$ se obtiene directamente.
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A…
Identifica si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtén su expresión analítica $y = f(x)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ |
El costo $C(t)$ en pesos de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 40 + 30t$, donde $t$ es el tiempo en horas. a) Haz una tabla de…
El costo $C(t)$ en pesos de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 40 + 30t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Haz una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representa gráficamente la función en ese intervalo.
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$. a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para…
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.
- a) Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Con la expresión analítica obtenida, calcula el vértice y construye una tabla de valores para representar la parábola.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones con raíz y racionales: puntos cerca de lo prohibido
En una función racional, los valores interesantes están cerca del valor que anula el denominador. En una función con raíz cuadrada, el dominio empieza justo donde el radicando vale cero.
Para los cortes de una racional $\dfrac{3x+6}{x-1}$: con el eje $X$ se iguala el numerador a cero ($x=-2$, siempre que el denominador no se anule ahí), y con el eje $Y$ se calcula $f(0)=\dfrac{6}{-1}=-6$.
Para $f(x)=\sqrt{x+2}$ el radicando debe cumplir $x+2\ge0$, es decir, $x\ge-2$. La tabla empieza en $x=-2$ y usa valores que den raíces exactas ($x=-1,2,7$ dan $1,2,3$).
Para $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ se pide $9-x^2\ge0$, o sea $-3\le x\le3$. Los puntos $(\pm3,0)$, $(0,3)$ y $(\pm2,\sqrt5)$ trazan una semicircunferencia, y el rango es $[0,3]$.
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$: a) Determina analíticamente su dominio. b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para…
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:
- a) Determina analíticamente su dominio.
- b) Completa una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilízala para esbozar la gráfica.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$: a) Determina su dominio. b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la…
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:
- a) Determina su dominio.
- b) Construye una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1.9; 1.99; 2.1; 2.01$).
- c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$. a) Calcula analíticamente su dominio de definición. b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$. c)…
Considera la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.
- a) Calcula analíticamente su dominio de definición.
- b) Haz una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
- c) Representa gráficamente la función e indica cuál es su recorrido.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Funciones definidas por partes y con valor absoluto
El valor absoluto es una función definida por partes: $|u|=u$ si $u\ge0$ y $|u|=-u$ si $u<0$. Para $f(x)=|2x-5|$ el cambio de tramo ocurre cuando $2x-5=0$, es decir $x=2.5$, que es el vértice de la "V". Para $f(x)=|x^2-4|$, la parábola se conserva donde $x^2-4\ge0$ (si $x\le-2$ o $x\ge2$) y se refleja hacia arriba entre $-2$ y $2$:
$$f(x)=\begin{cases} x^2-4 & \text{si } x\le-2 \text{ o } x\ge2 \\ -x^2+4 & \text{si } -2Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$: a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2.5; 3; 5$ y construye una tabla de valores. b) Representa gráficamente…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:
- a) Evalúa la función en los puntos $x = 0; 2; 2.5; 3; 5$ y construye una tabla de valores.
- b) Representa gráficamente la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ a) Construye una tabla de valores…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
- a) Construye una tabla de valores evaluando la función en $x = -2; 0; 0.99; 1; 2; 3$.
- b) Representa gráficamente la función e indica si es continua en $x = 1$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$: a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto. b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:
- a) Expresa la función definida a trozos eliminando el valor absoluto.
- b) Encuentra los puntos de corte con los ejes.
- c) Construye una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuja su gráfica.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$: $f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ a) Halla el valor…
Dada la función a trozos dependiente de un parámetro $k$:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
- a) Halla el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
- b) Con el valor de $k$ hallado, construye una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboza la gráfica de la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Modelos: gráficas en situaciones reales
Muchos problemas dan la función en un contexto. La tabla y la gráfica ayudan a interpretar: $f(0)$ es el valor inicial, la pendiente es la rapidez de cambio y el vértice de una parábola da un máximo o un mínimo.
Ganancia máxima. Si $B(x)=-100x^2+6{,}000x-80{,}000$ (en pesos), los puntos de equilibrio salen de $B(x)=0$. Dividiendo entre $-100$: $x^2-60x+800=0$, con $x=20$ y $x=40$. El vértice está en $x=\dfrac{-6000}{2(-100)}=30$ y $B(30)=-90{,}000+180{,}000-80{,}000=\$10{,}000$.
Crecimiento y decaimiento exponenciales. En $N(t)=100\cdot2^t$ cada hora la cantidad se duplica: $100, 200, 400, 800, 1{,}600$. La gráfica sube cada vez más rápido (crecimiento exponencial). En $M(t)=M_0\cdot0.5^{t/T}$, $M_0$ es la masa en $t=0$ y $T$ es el tiempo en que la masa se reduce a la mitad. Con $M_0=200$ g y $50$ g a los $60$ días, la masa se redujo a la cuarta parte, que son dos mitades; por tanto $60=2T$ y $T=30$ días.
Funciones inversas. Si $(a,b)$ está en la gráfica de $f$, entonces $(b,a)$ está en la de $f^{-1}$: la tabla se obtiene intercambiando columnas, y la gráfica es la reflexión respecto a la recta $y=x$. Para $f(x)=2^x$, los puntos $(0,1),(1,2),(2,4),(3,8)$ dan $(1,0),(2,1),(4,2),(8,3)$, que corresponden a $f^{-1}(x)=\log_2 x$.
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos. a) ¿Cuál…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.
- a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
- c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \times 2^t$,…
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \times 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Construye una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Representa gráficamente la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La ganancia mensual $B(x)$, en pesos, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función…
La ganancia mensual $B(x)$, en pesos, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función $B(x) = -100x^2 + 6\,000x - 80\,000$.
- a) Encuentra los puntos de equilibrio (producción para la cual la ganancia es cero).
- b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
- c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar la ganancia y de cuánto es dicha ganancia máxima?
La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \times (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$…
La masa $M(t)$ en gramos de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \times (0,5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.
Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:
- a) Calcula el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
- b) Construye una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboza la gráfica.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$: a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical. b) Construye una tabla de valores…
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:
- a) Determina analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
- b) Construye una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
- c) Representa la gráfica de la función.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres…
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de valla metálica para los otros tres lados.
- a) Expresa el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
- b) Determina el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
- c) Construye una tabla de valores y utilízala para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$,…
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.
- a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construye una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
- b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
- c) Escribe la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Lectura de una gráfica: dominio, rango y asíntotas
No siempre se construye la gráfica: también hay que leerla cuando ya está dibujada.
-
Dominio: los valores de $x$ sobre los que hay curva (se proyecta la gráfica sobre el eje $X$).
-
Rango: los valores de $y$ que alcanza (se proyecta sobre el eje $Y$).
-
$f(a)$: se sube o baja desde $x=a$ hasta la curva y se lee la altura.
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Asíntotas: rectas a las que la gráfica se acerca sin tocarlas.
Así se ve el enfriamiento de un café: parte de una temperatura alta y baja acercándose a la temperatura del ambiente sin llegar a ella. La función es decreciente y la asíntota horizontal $y=T_{\text{ambiente}}$ representa esa temperatura de equilibrio.
Para deducir una función racional $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ desde su gráfica: la asíntota vertical da el valor que anula el denominador, la horizontal es $y=\dfrac{a}{c}$ y los cortes con los ejes dan el numerador. Se plantean estas condiciones y se despejan los coeficientes.
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos: A partir de la gráfica, determina: a) El dominio y el recorrido de la función. b) El valor…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:
A partir de la gráfica, determina:
- a) El dominio y el recorrido de la función.
- b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve. A…
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.
A partir de la gráfica:
- a) Indica la temperatura inicial del café.
- b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
- c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifica tu respuesta.
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$: A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos…
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:
A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de corte):
- a) Determina el dominio y el recorrido de la función.
- b) Deduce la expresión analítica de la función $f(x)$.
Vuelve al principio: la gráfica del estacionamiento es una recta con ordenada al origen igual a la tarifa fija y pendiente igual al costo por hora. Con dos puntos calculados basta para trazarla.