Polinomios
Una empresa de Guadalajara modela sus ganancias diarias con un polinomio, y sabe que el día 1 no ganó nada. ¿Se puede averiguar en qué otro día vuelve a ser cero la ganancia sin probar día por día? Con las herramientas de este apartado, sí.
Definición, grado y operaciones básicas
Un polinomio en $x$ es una suma de términos $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, con coeficientes reales y exponentes naturales. El grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero; $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ el término independiente.
Sumar o restar es reducir términos semejantes. Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y luego reducir.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un residuo $R(x)$ con $D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x)$, donde el residuo tiene grado menor que el divisor (o es cero). El algoritmo es como la división larga de números: divides el término de mayor grado, multiplicas, restas y repites.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
División sintética (regla de Ruffini)
Si el divisor es de la forma $x-a$, no hace falta la división larga: la división sintética (o regla de Ruffini) trabaja solo con los coeficientes y con el número $a$.
Utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el…
Utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el residuo.
Teoremas del residuo y del factor
Antes de dividir conviene saber si vale la pena. El teorema del residuo dice que el residuo de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es simplemente $P(a)$. El teorema del factor dice que $x-a$ es factor de $P(x)$ exactamente cuando $P(a)=0$, es decir, cuando $a$ es raíz.
¿Por qué? De $P(x)=(x-a)C(x)+R$ con $R$ constante, al sustituir $x=a$ el primer sumando se anula y queda $P(a)=R$.
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Factorización y fracciones algebraicas
Factorizar sigue un orden: primero factor común, luego productos notables (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cubos). Una fracción algebraica se simplifica como una numérica: se cancelan factores comunes.
Dos productos que conviene recordar: $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ y $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando…
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando previamente el numerador (diferencia de cubos) y el denominador. Luego, evalúa el área cuando $x = 3$ metros.
Operaciones con fracciones algebraicas
Se operan como fracciones numéricas. Para multiplicar, se factoriza y se simplifica. Para sumar o restar, se factorizan los denominadores, se toma el mínimo común múltiplo (cada factor con su mayor exponente) y se pasa todo a ese denominador. Para dividir, se multiplica por el recíproco.
Para una fracción compleja (fracciones dentro de fracciones), convierte cada parte a una sola fracción factorizada y divide multiplicando por el recíproco.
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:
$\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:…
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:
$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$
Realiza las operaciones indicadas, calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la fracción resultante al máximo. ¿Cuál es el valor de la resistencia si $x = 3 \ \Omega$?
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:…
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:
$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$
Simplifica $T(x)$ al máximo factorizando previamente todos los numeradores y denominadores. ¿Qué problema matemático (y por tanto físico) ocurre con la relación de transmisión si $x = 2$?
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones: $S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$…
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones:
$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$
Factoriza completamente el numerador y el denominador utilizando división sintética (regla de Ruffini) y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Simplifica la fracción al máximo y determina, si existe, para qué valor real de $x$ la fracción simplificada es igual a $3$.
Binomio de Newton
Para $(a+b)^n$ los coeficientes salen del triángulo de Pascal (Tartaglia): cada número es la suma de los dos que tiene encima.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$.…
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente…
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.
Polinomios que modelan problemas reales
Beneficios, volúmenes, deformaciones: muchas situaciones se describen con un polinomio con parámetros desconocidos. Cada condición (un valor conocido, un residuo, divisibilidad entre $x-a$, que $a$ sea raíz) se traduce en una ecuación; con tantas ecuaciones independientes como parámetros se resuelve el sistema.
Vuelve al principio: el factor $(x-1)$ ya conocido y la división sintética nos dieron el otro día de ganancia cero sin probar uno por uno.
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se…
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 la ganancia es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residuo es $2$. Calcula los parámetros $a$ y $b$, y factoriza el polinomio para determinar en qué otro día de la semana la ganancia vuelve a ser exactamente cero.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por…
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es…
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formula la ecuación polinomial $P(x) = 0$, encuentra su raíz entera utilizando la división sintética (regla de Ruffini) y factoriza el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A…
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$.…
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.