Inecuaciones racionales
Una fábrica de componentes quiere saber cuántas piezas debe producir al día para que el costo medio por pieza baje de cierto precio. El costo medio es una fracción con la incógnita en el denominador. ¿Cómo se resuelve una desigualdad así? La tentación es "quitar" la fracción multiplicando en cruz, pero es peligroso: no sabes si lo que multiplicas es positivo o negativo. El método correcto es estudiar el signo del numerador y del denominador con una tabla de signos.
Por qué no se multiplica en cruz
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo: $\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional expresando su solución en forma de intervalo:
$\frac{x-4}{x+3} > 0$
Resuelve la inecuación: $\frac{x}{x-5} < 0$
Resuelve la inecuación:
$\frac{x}{x-5} < 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación: $\frac{2x+6}{x-1} \le 0$
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación:
$\frac{2x+6}{x-1} \le 0$
El denominador nunca es cero
Observa la gráfica de $\frac{x-4}{x+3}$: es positiva donde la curva está sobre el eje $x$ y no existe en $x=-3$.
Determina los valores de $x$ que verifican: $\frac{4}{x-6} \le 0$
Determina los valores de $x$ que verifican:
$\frac{4}{x-6} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación: $\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la siguiente inecuación:
$\frac{x^2-9}{x+1} > 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador: $\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando especial atención a las raíces múltiples del numerador:
$\frac{x^2-6x+9}{x+4} \le 0$
Cuando hay un término en el otro miembro
Si la inecuación es $\frac{P(x)}{Q(x)}\gtrless k$ con $k\neq0$, o tiene fracciones en los dos lados, primero pasa todo a un miembro y reduce a una sola fracción. La tabla de signos solo compara contra cero.
Encuentra el conjunto solución de la inecuación: $\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Encuentra el conjunto solución de la inecuación:
$\frac{x+3}{x-2} \ge 2$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas: $\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Determina el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad entre fracciones algebraicas:
$\frac{1}{x+1} < \frac{1}{x-3}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional: $\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Encuentra el conjunto solución de la siguiente inecuación racional:
$\frac{x+2}{x-1} \le \frac{x-4}{x+2}$
Factorización, dominios y sistemas
Cuando numerador y denominador son de grado mayor, factorízalos primero (factor común, productos notables, trinomios, división sintética). Así las raíces quedan a la vista.
Para un sistema de inecuaciones, resuelve cada una por separado y toma la intersección de las soluciones. Dibujar ambas en rectas paralelas ayuda.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Determina el dominio de definición de la función de variable real $f(x) = \sqrt{\frac{x^2-x-2}{x^2+4x+3}}$.
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador: $\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, factorizando previamente los polinomios del numerador y denominador:
$\frac{x^4-16}{x^3-2x^2} \le 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:…
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones racionales y expresa el resultado como unión de intervalos:
$\begin{cases} \frac{x-2}{x+3} \ge 0 \\ \frac{x^2-16}{x} \le 0 \end{cases}$
Factores que nunca cambian de signo y «para todo x»
A veces un factor no tiene raíces reales, como $x^2+4$ o $x^2+2x+4$. Entonces nunca cambia de signo: no aporta puntos a la tabla y basta saber si es siempre positivo o siempre negativo.
También puedes pedir que una desigualdad se cumpla para todo $x$. Eso se logra cuando el numerador no tiene raíces reales y tiene el signo correcto.
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado: $\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional en la que el numerador es un polinomio de tercer grado:
$\frac{x^3-8}{x^2-2x-3} \ge 0$
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$: $\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Determina para qué valores del parámetro real $k$ la siguiente inecuación se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$:
$\frac{x^2-kx+9}{x^2+1} > 0$
Problemas: costo medio, velocidad, concentración
Las funciones racionales modelan costo medio por unidad, tiempo en función de la velocidad o concentración de un fármaco. El planteamiento es igual: traducir el enunciado a una inecuación racional y resolverla con la tabla de signos, sin olvidar las restricciones del contexto.
Y la gráfica lo confirma: la curva del costo medio queda por debajo de la recta $y=25$ a partir de $x=80$.
El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica está dado por la expresión $C(x) = \frac{16\,000+300x}{x}$. Determina para qué…
El costo medio diario (en pesos) de producir $x$ componentes electrónicos en una fábrica está dado por la expresión $C(x) = \frac{16\,000+300x}{x}$. Determina para qué niveles de producción el costo medio será estrictamente inferior a $500$ pesos por componente.
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$…
El tiempo $T$ (en horas) que tarda una embarcación en recorrer una distancia de $120$ km a favor de la corriente se modeliza mediante $T(v) = \frac{120}{v+4}$, donde $v$ es la velocidad propia del barco en km/h. ¿Para qué velocidades $v > 0$ el trayecto se realizará en menos de $5$ horas?
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$.…
La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, medida en mg/L, $t$ horas después de su administración viene dada por la función $C(t) = \frac{4t}{t^2+4}$. ¿Durante qué intervalo de tiempo $t \ge 0$ la concentración del fármaco es mayor o igual a $1$ mg/L?
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula…
En óptica, la ecuación de las lentes delgadas relaciona la distancia focal $f$, la distancia del objeto $p$ y la distancia de la imagen $q$ mediante la fórmula $\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$. Si se utiliza una lente con una distancia focal $f = 12$ cm, determina para qué distancias del objeto $p > 0$ la distancia de la imagen $q$ será mayor de $24$ cm.
Vuelve al principio: el costo medio baja de cierto precio justo cuando la inecuación racional correspondiente se cumple, y eso lo decide el signo de numerador y denominador, no un producto en cruz.