Factorización de polinomios
Un fabricante de cajas en Puebla te dice que el volumen de su caja es $V(x)=x^3-7x^2+10x$. ¿Cuánto miden el largo, el ancho y el alto? Factorizar un polinomio es "desarmarlo" en sus piezas: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ dice de un vistazo que $P(x)=0$ solo cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Aquí juntamos todas las técnicas en un solo procedimiento y al final resolvemos lo de la caja.
Factor común y productos notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible. Después, si lo que queda es un producto notable (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto) o un trinomio de segundo grado, se factoriza con ellos o con la fórmula general.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Raíces, teorema del resto y división sintética
Si $r$ es raíz de $P(x)$, entonces $(x-r)$ es un factor. Para comprobarlo basta evaluar: por el teorema del resto, el residuo de dividir $P(x)$ entre $(x-r)$ es $P(r)$. Si $P(r)=0$, la división es exacta. Para hacer la división rápido se usa la división sintética (regla de Ruffini).
Las raíces enteras candidatas son los divisores del término independiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante división sintética (regla de Ruffini) y exprésalo en su forma factorizada.
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante división sintética (regla de Ruffini) y exprésalo en su forma factorizada.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar "completamente" es repetir factor común, productos notables y división sintética hasta que todos los factores sean de grado $1$ (o de grado $2$ sin raíces reales). Si una raíz se repite, es múltiple y su multiplicidad es el número de veces que aparece.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca…
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Polinomios bicuadrados y diferencias sucesivas
Un bicuadrado solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$: $ax^4+bx^2+c$. Se factoriza como uno de segundo grado con la variable auxiliar $t=x^2$. Además, una diferencia de cuadrados puede aplicarse dos veces si el resultado vuelve a serlo.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Raíces racionales: cuando el coeficiente principal no es 1
Si el coeficiente principal no es $1$, además de enteros hay que probar fracciones $\frac{p}{q}$, con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en…
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de pesos. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
Factores irreducibles de segundo grado
No todo polinomio se parte en factores de grado $1$. Un factor de grado $2$ con discriminante negativo es irreducible en los reales, y ahí se detiene la factorización. A veces, sumar y restar un término auxiliar revela dos factores cuadráticos.
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para…
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de anclaje de la pieza en el eje horizontal.
Fracciones algebraicas: simplificar y restar
Factorizar sirve para trabajar con fracciones algebraicas: se factorizan numerador y denominador, se cancelan los factores comunes y, si hay que sumar o restar, se simplifica cada fracción antes de buscar el denominador común. Siempre hay que anotar los valores de $x$ que anulan algún denominador.
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:
$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$
Factorización con parámetros y aplicaciones
Si un polinomio tiene un parámetro y una condición de divisibilidad, primero se halla el parámetro (con el teorema del resto) y después se factoriza con todos los coeficientes conocidos. Factorizar también sirve para hallar dónde una cantidad se anula.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.