Resolución de triángulos oblicuángulos
Regina quiere saber qué tan lejos están dos antenas de celular en un cerro de Oaxaca, pero no puede caminar hasta ellas: solo mide una distancia desde donde está y dos ángulos con un teodolito. ¿Cómo obtiene la distancia sin medirla? Con triángulos que no tienen ángulo recto y con dos herramientas: el teorema del seno y el del coseno.
Qué datos tienes, qué teorema usar
Un triángulo oblicuángulo es el que no tiene ángulo recto. «Resolverlo» es calcular sus tres lados y sus tres ángulos. Casi siempre se parte de tres datos (al menos uno es un lado), y según cuáles sean, un teorema es más directo que el otro.
El del coseno es el de Pitágoras con una corrección: si $C=90^\circ$, $\cos C=0$ y queda $c^2=a^2+b^2$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.
Resolver el triángulo completo
Se combinan los dos teoremas en el orden que convenga. Por convención, el lado $a$ se opone al ángulo $A$, y así con los demás.
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la…
En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando…
En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.
Área de un triángulo sin su altura
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, no necesitas la altura.
Un paralelogramo se parte en dos triángulos iguales con una diagonal; así, su área es $ab\operatorname{sen}\theta$, y su diagonal se halla con el teorema del coseno.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.
Triangulación y aplicaciones
La triangulación fija la posición de un punto inaccesible midiendo ángulos y distancias desde puntos conocidos. Lo mismo sirve para barcos, alturas de torres, fuerzas y reparaciones de estructuras.
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$…
Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$.…
Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos…
Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.
Cuadriláteros y polígonos: dividir en triángulos
Cualquier polígono se resuelve con diagonales que lo dividen en triángulos, aplicando seno y coseno a cada uno. Si es regular de $n$ lados, los triángulos centrales tienen ángulo en el centro de $\dfrac{360^\circ}{n}$.
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el…
Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los…
Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal…
En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.
Fuerzas, ángulos y problemas más largos
Muchos problemas mezclan teoremas. Haz siempre un dibujo, marca los datos y busca el triángulo donde tengas la combinación del primer cuadro.
Para fuerzas con un ángulo $\theta$ entre ellas, la resultante es la diagonal del paralelogramo. Ojo: el ángulo del triángulo que se forma es el suplementario, $180^\circ-\theta$, así que $R^2=F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta$.
Ángulo entre las manecillas de un reloj
Para problemas con relojes, necesitas el ángulo entre las manecillas. El minutero avanza $360^\circ$ en $60$ minutos, es decir, $6^\circ$ por minuto. La aguja horaria avanza $360^\circ$ en $12$ horas: $30^\circ$ por hora y también $0.5^\circ$ por minuto, porque se va moviendo entre una hora y la siguiente. Medidos desde las 12, los dos ángulos son:
-
minutero: $6^\circ\times\text{minutos}$;
-
horaria: $30^\circ\times\text{horas}+0.5^\circ\times\text{minutos}$.
El ángulo entre ellas es la diferencia (si pasa de $180^\circ$, se resta de $360^\circ$). Ese ángulo es el comprendido entre las dos manecillas, así que se usa el teorema del coseno.
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$…
Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su…
Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, la placa debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior de la placa para unirla con el tejado.
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$,…
Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas…
Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.
Relación de proyecciones
Si trazas la altura desde $A$ hasta el lado $a$, el pie $D$ de la altura divide a $a$ en dos partes. Cada parte es la proyección de otro lado sobre $a$.
En el triángulo rectángulo $ABD$, $BD=c\cos B$. En el triángulo rectángulo $ADC$, $DC=b\cos C$. Como $a=BD+DC$:
Con el teorema del seno se obtiene la fórmula del seno de una suma:
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones:…
Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
Herón, radios y ejercicios de reto
Con los tres lados, la fórmula de Herón da el área sin ángulos: con el semiperímetro $s=\dfrac{a+b+c}{2}$,
$$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$Y combinando fórmulas: $S=\dfrac{abc}{4R}$ (de $a=2R\operatorname{sen}A$ y $S=\frac12bc\operatorname{sen}A$) y $S=rs$ (el triángulo se divide en tres triángulos de altura $r$).
En los problemas con incógnitas, plantea el teorema como ecuación. Con la bisectriz, el área del triángulo grande es la suma de las dos partes: $\frac12ab\operatorname{sen}C=\frac12bx\operatorname{sen}\frac C2+\frac12ax\operatorname{sen}\frac C2$. En la pirámide, dibuja la sección que pasa por una arista lateral: las perpendiculares a esa arista desde los dos vértices vecinos de la base forman un triángulo isósceles con el ángulo diedro en el vértice, y su base es la diagonal de la base de la pirámide. En problemas de rumbos, el ángulo de $45^\circ$ al Noreste, medido desde la dirección Norte, suele dar un triángulo con ángulos de $45^\circ$ y $90^\circ$.
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para…
En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ km exactos al Noreste ($45^\circ$ respecto al Norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el Oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula…
En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando…
Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$,…
Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.
Vuelve al principio: Regina mide una base y dos ángulos, halla el tercer ángulo restando a $180^\circ$ y obtiene la distancia a la antena con el teorema del seno, sin caminar hasta ella.