La parábola
Las antenas parabólicas que reciben señal de satélite, los faros de los autos y los telescopios reflectores comparten una propiedad asombrosa: todo rayo que llega paralelo al eje se refleja pasando exactamente por un mismo punto, el foco. ¿Por qué ocurre y dónde hay que colocar el receptor? Todo sale de cómo se define la parábola como lugar geométrico.
La parábola como lugar geométrico
Distancia de un punto a una recta
Cuando la directriz es horizontal o vertical, la distancia es una simple resta. Si la directriz es oblicua, se necesita una fórmula.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la…
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua…
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.
Elementos y ecuación ordinaria con vértice en el origen
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Parábolas con vértice fuera del origen
Si el vértice es $V(h,k)$, se traslada la curva: la ecuación ordinaria cambia $x$ por $x-h$ y $y$ por $y-k$.
Al desarrollar, aparece un término de primer grado en la variable del eje y uno de segundo grado en la otra. Por ejemplo, $y^2-4y-6x+10=0$ es una ecuación general de parábola: solo una de las variables está al cuadrado, y se pasa a la forma ordinaria completando cuadrados.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su…
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$,…
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.
Rectas y parábolas: intersección, tangentes y distancia mínima
Para saber cómo se posiciona una recta respecto a una parábola, se sustituye la recta en la parábola y queda una ecuación cuadrática. Su discriminante $D=b^2-4ac$ decide:
-
$D>0$: la recta es secante (dos puntos).
-
$D=0$: es tangente (un punto).
-
$D<0$: es exterior (no se cortan en puntos reales).
También se puede hallar la tangente en un punto con la derivada, o con la fórmula de la tangente en $(x_1,y_1)$ de $y^2=4px$: $y\,y_1=2p(x+x_1)$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al…
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Punto de una parábola más cercano a una recta
Un punto de la parábola se escribe con un parámetro, la distancia a la recta se expresa con la fórmula de punto-recta y queda una cuadrática en el parámetro: su mínimo está en el vértice (completando cuadrados).
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha…
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.
Circunferencia por tres puntos
Una circunferencia de centro $(h,k)$ y radio $r$ tiene ecuación $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$. Al desarrollarla queda la forma general $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, con tres incógnitas $D$, $E$, $F$: tres puntos de la circunferencia dan tres ecuaciones. Después, el centro es $\left(-\tfrac D2,-\tfrac E2\right)$ y $r^2=h^2+k^2-F$.
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical…
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.
La propiedad reflectora
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las…
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se…
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto…
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.
Modelado con parábolas
Arcos de puentes, la trayectoria de una pelota o de un chorro de agua son parábolas. El método: coloca el sistema de coordenadas en un lugar cómodo (casi siempre el vértice en el origen o en el punto más alto), escribe la ecuación con un parámetro y úsalo con un punto conocido.
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se…
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de…
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.
Proyección de un punto sobre una recta
La proyección ortogonal de un punto $F$ sobre una recta $r$ es el pie de la perpendicular: el punto donde la perpendicular a $r$ trazada por $F$ corta a $r$. Para hallarlo: (1) se obtiene la pendiente de la perpendicular, que es la opuesta del recíproco de la pendiente de $r$; (2) se escribe la recta perpendicular por $F$; (3) se resuelve el sistema formado por ambas rectas.
Esto sirve para demostrar propiedades de lugares geométricos: se describe la familia de tangentes con un parámetro, se proyecta el foco sobre cada una y se ve qué relación cumple el pie.
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes…
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.