Definiciones de probabilidad
Ximena dice que, al revisar chips en una fábrica de Guadalajara, la probabilidad de un defecto es «de 50 %, porque o sale defectuoso o no». ¿Tiene razón? Hasta ahora has usado «casos favorables entre casos posibles», pero esa regla solo sirve si todos los resultados son igual de probables, y no explica por qué $P(\overline{A}) = 1-P(A)$ o por qué $P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ funcionan siempre. En 1933 Andréi Kolmogórov formalizó la probabilidad con solo tres reglas de partida (los axiomas); todo lo demás, incluida la regla de Laplace, se deduce de ellas.
Los axiomas de Kolmogórov
Recuerda: un evento es un subconjunto del espacio muestral $E$, y los eventos se combinan como conjuntos: $A\cup B$ («$A$ o $B$»), $A\cap B$ («$A$ y $B$»), $\overline{A}$ («no $A$») y $A-B$ («$A$ pero no $B$»).
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.3$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Justifica matemáticamente si los eventos $A$ y…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.3$ y $P(A \cup B) = 0.7$. Justifica matemáticamente si los eventos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes o no excluyentes basándote en los axiomas de la probabilidad.
Regla de Laplace
La regla de Laplace no es una ley aparte: es la forma que toma $P$ cuando los $n$ resultados de $E$ son equiprobables.
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión…
Se lanza un dado dodecaédrico (12 caras) perfectamente equilibrado, con sus caras numeradas del 1 al 12. Se anota el resultado de la cara superior. Define por extensión el espacio muestral $E$ y los siguientes eventos:
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$A$: "Obtener un número múltiplo de 3".
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$B$: "Obtener un número primo".
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$C$: "Obtener un número mayor que 10".
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes eventos elementales y…
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Utilizando la regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes eventos elementales y compuestos:
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$A$: "Extraer un caballo".
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$B$: "Extraer una carta de copas".
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$C$: "Extraer una figura de oros" (las figuras son sota, caballo y rey).
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la…
Se dispone de una urna opaca que contiene 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas verdes, todas idénticas al tacto. Si se extrae una bola al azar, calcula la probabilidad de:
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Obtener una bola azul.
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No obtener una bola roja.
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Obtener una bola que sea roja o verde.
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una…
En una urna hay $n$ bolas blancas y 6 bolas negras. Se extrae una bola al azar. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola blanca es $\frac{3}{5}$, plantea una ecuación para averiguar el valor de $n$ y determina el número total de bolas en la urna.
Propiedades que se deducen de los axiomas
Ninguna de estas reglas es un axioma nuevo: todas se demuestran a partir de los tres axiomas, y por eso valen siempre, haya equiprobabilidad o no.
Las leyes de De Morgan ayudan con el «ninguno»: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ y $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$. Por eso $P(\text{ninguno})=1-P(A\cup B)$.
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0.05$, la probabilidad de que tenga un defecto…
En una fábrica de componentes electrónicos, se sabe que la probabilidad de que un chip tenga un defecto de soldadura es $0.05$, la probabilidad de que tenga un defecto en el encapsulado es $0.03$, y la probabilidad de que presente ambos defectos simultáneamente es $0.01$. Calcula la probabilidad de que un chip elegido al azar presente al menos uno de los dos defectos.
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0.45$. La probabilidad de que…
En una empresa de desarrollo de software, la probabilidad de que un programa tenga un error en la interfaz de usuario (evento $U$) es $0.45$. La probabilidad de que tenga un error en la base de datos (evento $D$) es $0.30$. Si la probabilidad de que tenga un error en la interfaz pero no en la base de datos es $0.25$, calcula la probabilidad de que el programa no tenga ningún error.
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo…
Un analista financiero evalúa dos fondos de inversión, $A$ y $B$. Determina que la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable es el doble de la probabilidad de que lo sea el fondo $B$. Además, sabe que la probabilidad de que al menos uno sea rentable es $0.85$ y la probabilidad de que ambos lo sean es $0.20$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula la probabilidad de que el fondo $A$ sea rentable.
Álgebra de eventos
Describir eventos con palabras y con símbolos es la mitad del trabajo.
| Con palabras | Notación |
|---|---|
| Ocurre $A$ o $B$ (al menos uno) | $A\cup B$ |
| Ocurren $A$ y $B$ | $A\cap B$ |
| No ocurre $A$ | $\overline{A}$ |
| $A$ pero no $B$ | $A-B=A\cap\overline{B}$ |
| Ninguno de los dos | $\overline{A}\cap\overline{B}$ |
| Exactamente uno | $(A-B)\cup(B-A)$ |
Las propiedades del álgebra de conjuntos permiten simplificar expresiones: $A\cup\overline{A}=E$, $A\cap\overline{A}=\emptyset$, $A\cup E=E$, $A\cap E=A$ y la distributiva $(A\cup B)\cap(A\cup C)=A\cup(B\cap C)$.
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$,…
En un experimento aleatorio, el espacio muestral es $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Dados los eventos $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, determina por extensión los siguientes eventos resultantes de operar con ellos:
-
$A \cup B$
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$A \cap B$
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$A - B$
-
$\overline{A} \cap B$
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje ordinario el significado de los…
En un centro meteorológico se define el evento $L$: "Que llueva mañana" y el evento $V$: "Que haga viento mañana". Expresa en lenguaje ordinario el significado de los siguientes eventos algebraicos:
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$\overline{L} \cap \overline{V}$
-
$L \cup V$
-
$V - L$
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los eventos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente…
En un estudio clínico sobre una nueva cepa viral, se observa a un grupo de pacientes. Se definen los eventos $F$: "El paciente presenta fiebre" y $T$: "El paciente presenta tos". Expresa en notación de conjuntos (intersecciones, uniones, complementos) los siguientes eventos descritos en lenguaje natural:
-
El paciente presenta al menos uno de los dos síntomas.
-
El paciente presenta fiebre pero no tos.
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El paciente no presenta ninguno de los dos síntomas.
-
El paciente presenta exactamente un síntoma.
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$:…
En el diseño de un circuito lógico, la activación de un relé depende de los eventos $A$ y $B$ según la expresión booleana que define el evento $K$: $K = (A \cup B) \cap (\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$.
Simplifica analíticamente la expresión del evento $K$ utilizando las propiedades del álgebra de eventos. Posteriormente, calcula $P(K)$ sabiendo que $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cup B) = 0.8$.
Diagramas de Venn con áreas proporcionales
Un diagrama de Venn puede dibujarse con el área de cada región proporcional a su probabilidad; todo $E$ suma área $1$.
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos eventos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su…
Observa el siguiente diagrama de Venn que representa un espacio muestral $E$ y dos eventos $A$ y $B$. Sabiendo que el área de cada región es proporcional a su probabilidad, expresa en notación de conjuntos la región sombreada en color verde y calcula su probabilidad si $P(A) = 0.55$, $P(B) = 0.40$ y $P(A \cap B) = 0.15$.
En una preparatoria, el $60\%$ de los alumnos de 1° de preparatoria cursa la materia de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos.…
En una preparatoria, el $60\%$ de los alumnos de 1° de preparatoria cursa la materia de Física, el $50\%$ cursa Dibujo Técnico y un $20\%$ no cursa ninguna de las dos. Si se elige un alumno al azar, determina las siguientes probabilidades utilizando las propiedades axiomáticas y las leyes de De Morgan:
-
Que curse ambas materias.
-
Que curse Física pero no Dibujo Técnico.
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Que curse exactamente una de las dos materias.
Espacios muestrales de varias etapas
Cuando el experimento tiene varias etapas, lista los resultados con pares, ternas o un diagrama de árbol, y verifica si son equiprobables.
Contar casos con combinaciones
Cuando los casos son demasiados para listarlos, se cuentan. Dos herramientas bastan aquí:
-
Principio multiplicativo: si una elección se hace de $a$ maneras y otra de $b$ maneras, juntas se hacen de $a\times b$ maneras. Un PIN de 4 dígitos tiene $10\times10\times10\times10=10{,}000$ posibilidades.
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Combinaciones: el número de maneras de escoger $k$ lugares (sin importar el orden) entre $n$ es
¿Por qué? Ordenar los $k$ elementos escogidos de todas las formas posibles ($k!$) no cambia la elección, así que se divide entre $k!$.
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que: La suma…
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados, uno rojo y otro azul. Apoyándote en el espacio muestral bidimensional, calcula la probabilidad de que:
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La suma de las puntuaciones sea exactamente 8.
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El valor absoluto de la diferencia entre las puntuaciones sea 2.
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "águila" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer…
Un juego consiste en lanzar una moneda equilibrada repetidamente hasta que salga la primera "águila" ($C$), con un límite máximo de 3 lanzamientos (si en el tercer lanzamiento sale "sol" ($X$), el juego termina de todos modos).
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Escribe el espacio muestral $E$ de este experimento.
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Asigna la probabilidad correspondiente a cada evento elemental justificando tu respuesta.
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que…
En un sistema de ciberseguridad, un usuario debe crear un PIN numérico de 4 dígitos (del 0 al 9). Si el sistema genera un PIN aleatorio, calcula la probabilidad de que el PIN contenga exactamente dos dígitos iguales (por ejemplo, 1213 o 9904, pero no 2225 ni 1122). Utiliza la regla de Laplace y técnicas de combinatoria.
Cotas de la probabilidad de una intersección
Los axiomas también acotan una probabilidad desconocida, pues ninguna probabilidad supera $1$ ni es negativa.
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0.85$ y la probabilidad de pasar…
En un control de calidad se aplican dos pruebas a una remesa de productos. Se sabe que la probabilidad de pasar la prueba $A$ es $P(A) = 0.85$ y la probabilidad de pasar la prueba $B$ es $P(B) = 0.75$. Sin conocer la probabilidad de la intersección, determina algebraicamente el valor máximo y el valor mínimo que puede tomar la probabilidad de que un producto pase ambas pruebas, $P(A \cap B)$.
Estimar probabilidades con frecuencias
Si no sabes si un mecanismo es equilibrado, repite el experimento y estima $P(A)$ con la frecuencia relativa $f_n(A)=n_A/n$.
Usa el simulador de la urna (5 rojas, 5 azules, con devolución). Reinicia y anota la frecuencia de rojas al llegar a 20, 200 y 2000 ensayos; compara con $P(\text{roja})=0.5$ y repite.