Operaciones con números complejos en forma binómica
Un ingeniero de la CFE revisa un circuito de corriente alterna y sus datos vienen como números con una $i$: $4+3i$ ohms. ¿Cómo se combinan dos componentes así? Al final de la página volverás a esta pregunta. La buena noticia es que no hay reglas nuevas que memorizar: tratas $a+bi$ como un binomio de álgebra y recuerdas un solo dato extra, $i^2=-1$.
Potencias de la unidad imaginaria
Empieza por $i$ misma. Como $i^2=-1$, sus potencias se repiten en un ciclo de cuatro:
$$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=i^2\cdot i=-i,\quad i^4=i^3\cdot i=1,\quad i^5=i,\ \dots$$Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores: $i^{45}$ $i^{102}$ $i^{2024}$ $i^{-13}$
Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores:
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$i^{45}$
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$i^{102}$
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$i^{2024}$
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$i^{-13}$
Suma y resta: parte real con parte real
Geométricamente, sumar complejos es sumar sus coordenadas en el plano. Mueve el punto y observa su parte real (horizontal) y su parte imaginaria (vertical):
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de…
Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de la expresión $z_1 - z_2 + z_3$.
Igualdad, conjugado y módulo
Dos complejos son iguales cuando coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias. Esto convierte una igualdad compleja en dos ecuaciones reales.
Observa que $z+\bar z=(a+bi)+(a-bi)=2a$, que es real. Y $z\cdot\bar z=a^2+b^2=|z|^2$.
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente…
Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente que el resultado es un número real.
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos: $(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:
$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$
Producto: como un binomio, con $i^2=-1$
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario respecto al origen y, posteriormente, una traslación definida por el vector $(-1, 3)$, el motor gráfico realiza la operación $z' = z \times i + (-1 + 3i)$. Calcula la nueva posición $z'$ del personaje.
Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de…
Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de las potencias $( (1-i)^2 )^2$.
Evaluar expresiones y polinomios
Para evaluar un polinomio en un complejo, sustituye y opera con las reglas anteriores, respetando la jerarquía de operaciones: potencias, luego productos y divisiones, y al final sumas y restas.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.
División: multiplica por el conjugado del denominador
No sabes qué significa «quitar la $i$ de abajo»; la solución es la misma idea que racionalizar un denominador con raíces: multiplicar arriba y abajo por el conjugado, para que el denominador quede real.
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma…
Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma $a + bi$:
$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):…
Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):
$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:…
Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:
$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$
Ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas
Cuando el discriminante $b^2-4ac$ de $ax^2+bx+c=0$ es negativo, la fórmula general pide la raíz de un número negativo. Ya no decimos «no tiene solución real» y listo: extraes la raíz con $i$ y resuelves en $\mathbb{C}$. Gráficamente, la parábola no corta el eje $x$.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones: $x^2 + 25 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones:
$x^2 + 25 = 0$
Raíces de polinomios y ecuaciones con $z$ y $\bar z$
Dos herramientas extra para ejercicios más largos.
1. Si conoces una raíz compleja de un polinomio con coeficientes reales, conoces también su conjugada. Con ambas formas un factor cuadrático real: $(z-r)(z-\bar r)=z^2-2\,\mathrm{Re}(r)\,z+|r|^2$.
2. Ecuaciones donde aparece $z$ y $\bar z$ (o $z^2=$ un complejo). Escribe $z=x+yi$, desarrolla e iguala partes reales e imaginarias. Obtienes un sistema de dos ecuaciones reales, que a veces es no lineal y se resuelve por casos.
Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las…
Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las partes reales y las partes imaginarias para formar un sistema de ecuaciones no lineal, y resuélvelo en $\mathbb{R}$.
Encuentra todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ y resuelve el sistema resultante analizando…
Encuentra todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación no lineal $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considera $z = x + yi$ y resuelve el sistema resultante analizando los diferentes casos posibles para $x$ e $y$.
En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la…
En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la ecuación característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:
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Comprueba sustituyendo algebraicamente si $z_1 = 1 + i$ es una solución de la ecuación.
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Sabiendo que los polinomios con coeficientes reales tienen raíces complejas conjugadas, halla las otras dos soluciones de la ecuación.
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Concluye si el sistema descrito es estable o inestable.
Sistemas, sumas y sucesiones con complejos
Sistemas lineales. Los métodos de suma y resta, sustitución o igualación funcionan igual con coeficientes complejos. Solo recuerda que dividir exige el conjugado.
Suma de una progresión geométrica. La fórmula $S=\dfrac{r^n-1}{r-1}$ para $\sum_{k=0}^{n-1}r^k$ también vale con $r$ complejo, siempre que $r\ne1$.
Para potencias como $(1+i)^k$ ayuda notar que $(1+i)^2=2i$, y así $(1+i)^4=-4$.
Sucesiones iterativas y módulo. En fractales como el conjunto de Mandelbrot se calcula $z_{n+1}=z_n^2+c$ con $z_0=0$ y se vigila el módulo $|z_n|$.
Lugares geométricos. Si pides que una expresión sea real o imaginaria pura, la condición sobre $x$ e $y$ describe una curva del plano.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas $z$ y $w$ son números complejos. Expresa ambas soluciones en forma binómica:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas $z$ y $w$ son números complejos. Expresa ambas soluciones en forma binómica:
$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$
En un algoritmo de generación de fractales, la posición de cada nuevo nodo en el plano complejo se calcula a partir de la suma de potencias consecutivas. Calcula la…
En un algoritmo de generación de fractales, la posición de cada nuevo nodo en el plano complejo se calcula a partir de la suma de potencias consecutivas. Calcula la posición del nodo que viene dada por la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica:
$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$
Aplica la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica y expresa el resultado final en forma binómica.
En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la…
En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la condición inicial $z_0 = 0$. Para la constante compleja $c = -1 + i$:
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Calcula los términos $z_1$, $z_2$ y $z_3$ operando en forma binómica.
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Determina el módulo $|z_3|$ y comprueba si supera el valor umbral de escape (es decir, si $|z_3| > 2$).
Determina el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z = x + yi$ tales que la expresión $\frac{z - 2}{z + i}$ sea un número imaginario puro (es decir,…
Determina el lugar geométrico de los afijos de los números complejos $z = x + yi$ tales que la expresión $\frac{z - 2}{z + i}$ sea un número imaginario puro (es decir, con parte real nula y parte imaginaria distinta de cero).
- a) Obtén la ecuación del lugar geométrico en función de $x$ e $y$.
- b) Identifica la curva: indica su centro y su radio.
- c) Indica qué puntos de esa curva hay que excluir y por qué.
Demostrar propiedades con $z=a+bi$
Para probar una propiedad general, escribe los complejos en forma binómica con letras, opera en ambos lados y compara.
Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es…
Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es idéntico al producto de sus conjugados respectivos. Es decir, prueba paso a paso que $\overline{z \times w} = \overline{z} \times \overline{w}$.
Aplicaciones: impedancia y otros modelos
En electrónica, la impedancia de un componente es un complejo $Z=R+Xi$ (resistencia más reactancia, en ohms; en Física se escribe $j$ en vez de $i$). Combinar componentes es sumar, multiplicar y dividir complejos: en serie $Z_{eq}=Z_1+Z_2$; en paralelo, $Z_{eq}=\dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}$.
Vuelve al principio: el ingeniero combina las impedancias con exactamente las mismas reglas que acabas de practicar.
Otros modelos usan complejos de la misma manera. Una rotación de $90^\circ$ en un videojuego es multiplicar por $i$; el potencial de un fluido, una amplitud cuántica o el estado de un fractal son expresiones con $z$ que se evalúan operando en forma binómica. En la amplitud $\psi$, el producto $\psi\bar\psi$ es $|\psi|^2$.
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y…
En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente del circuito, expresada en forma binómica, utilizando la fórmula física:
$Z_{eq} = \frac{Z_1 \times Z_2}{Z_1 + Z_2}$
En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión…
En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión $W(z) = V \times z + \frac{m}{z}$. Sabiendo que la velocidad del fluido es $V = 2$ y el parámetro $m = 8$, evalúa el potencial en el punto $z = 2 + 2i$. Expresa el resultado final $W(2+2i)$ en la forma $a + bi$.
Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte…
Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte real igual a cero).
En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad…
En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Comprueba si este estado cumple la condición de normalización, la cual requiere que el producto del número complejo por su conjugado sea exactamente la unidad ($\psi \times \bar{\psi} = 1$).