Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad
En una fábrica de Monterrey, dos brazos robóticos se mueven sobre rieles rectos. Para que no choquen, el ingeniero debe saber si los rieles son paralelos, si se cruzan en ángulo recto o qué ángulo forman. No necesita transportador: le bastan las ecuaciones de las rectas. En esta página aprenderás a calcularlo.
El ángulo entre dos rectas
Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos: dos agudos iguales y dos obtusos iguales. Por convención, el ángulo entre dos rectas es el agudo (de $0^\circ$ a $90^\circ$).
¿De dónde sale? Cada pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la recta ($m=\tan\theta$). El ángulo entre las rectas es la diferencia de inclinaciones, $\alpha=\theta_1-\theta_2$, y la fórmula es la de la tangente de una resta. Las barras de valor absoluto garantizan que obtengamos el ángulo agudo.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo que forman las rectas dadas por sus ecuaciones explícitas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Calcula el ángulo agudo que forman las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: 3x + y - 1 = 0$.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Determina el ángulo que forma la recta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ con la dirección positiva del eje de abscisas.
Rectas paralelas
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Determina la ecuación general de la recta paralela a $y = 3x - 5$ que pasa por el punto $P(2, -1)$.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Dadas las rectas $r: kx - 2y + 5 = 0$ y $s: 3x + 4y - 1 = 0$, halla el valor del parámetro $k$ para que ambas rectas sean paralelas.
Rectas perpendiculares
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Halla la ecuación de la recta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que pasa por el origen de coordenadas. Expresa el resultado en forma explícita.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Encuentra el valor de $m$ para que las rectas $r: 5x + 2y = 0$ y $s: mx - 5y + 3 = 0$ sean perpendiculares.
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indica cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles perpendiculares entre sí:
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$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
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$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
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$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Rectas con un parámetro
Si una recta depende de un parámetro $k$, la condición de paralelismo o perpendicularidad se convierte en una ecuación para $k$. Si se pide un ángulo exacto, se iguala la fórmula de $\tan\alpha$ al valor pedido.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $kx + y - 2 = 0$ forme un ángulo de $45^\circ$ con la recta de ecuación $x - 2y + 1 = 0$.
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o…
Dos aviones siguen trayectorias rectilíneas en la pantalla de un radar dadas por las ecuaciones $r: x - 3y + 2 = 0$ y $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determina el valor (o valores) de $k$ para que sus rutas se crucen formando un ángulo exacto de $60^\circ$.
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dos brazos robóticos en una fábrica se desplazan sobre raíles rectilíneos. El primero sigue la recta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ y el segundo la recta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
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Determina $a$ para que los raíles sean paralelos.
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Halla la ecuación de un tercer raíl transversal que sea perpendicular a ambos y que cruce al raíl $r$ exactamente en su punto de corte con el eje de ordenadas.
Aplicaciones: alturas, reflexiones y estructuras
La perpendicularidad aparece siempre que algo debe "caer en ángulo recto": la altura de un triángulo, un rayo reflejado en un espejo, una viga transversal, o la proyección de un punto sobre una recta.
Reflexión de un rayo en un espejo
Ley de la reflexión: el rayo incidente y el reflejado forman el mismo ángulo con la normal, que es la recta perpendicular al espejo en el punto donde llega el rayo. Si el espejo es horizontal, la normal es vertical y el rayo reflejado conserva la inclinación pero cambia el signo de la pendiente.
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por…
En el diseño de un parque, una nueva avenida debe ser perpendicular a la calle principal definida por la ecuación $3x - 4y + 10 = 0$. Además, esta avenida debe pasar por el punto de intersección de las calles secundarias $x + y - 2 = 0$ y $2x - y - 4 = 0$. Obtén la ecuación general de la nueva avenida.
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una…
En el plano de una estructura metálica, una viga de soporte principal se asienta sobre la recta que pasa por los nudos $P(-2, 4)$ y $Q(4, 1)$. Se necesita soldar una segunda viga perpendicular a la primera exactamente en su punto medio. Halla la ecuación explícita de la recta que define esta segunda viga.
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta…
Dado un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(4, 6)$, halla la ecuación general de la altura correspondiente al vértice $A$ y calcula el ángulo que forma esta altura con el lado $AB$.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Encuentra las coordenadas de la proyección ortogonal del origen de coordenadas $(0,0)$ sobre la recta de ecuación $2x - 5y + 10 = 0$.
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre…
Un rayo láser viaja a lo largo de la recta $y = -2x + 5$ y se refleja en un espejo plano situado sobre el eje de abscisas. Calcula el ángulo de incidencia (ángulo entre el rayo y la normal al espejo) y determina la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.
Distancia y propiedades del rombo
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero…
Dos vértices opuestos de un cuadrado son $A(-1, 3)$ y $C(5, 1)$. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los cuatro lados del cuadrado, calculando primero su centro y las direcciones de sus diagonales.
Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de…
Las diagonales de un rombo están contenidas en las rectas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 3 = 0$. Sabiendo que uno de sus vértices es $A(0, 2)$ y que la longitud de su lado es $\sqrt{20}$, halla las coordenadas de los otros tres vértices.
Problemas más completos
Tres ideas útiles para los ejercicios difíciles:
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Bisectrices. Son los puntos que equidistan de las dos rectas: $\dfrac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\dfrac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$. Al quitar el valor absoluto salen dos rectas, perpendiculares entre sí.
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Recta simétrica respecto de otra: se toma el punto de corte de ambas y la imagen de otro punto de $r$ (se baja la perpendicular al eje de simetría y se prolonga la misma distancia).
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Familia de rectas con parámetro: se agrupa por potencias de $k$, $(\dots)+k(\dots)=0$, y el punto fijo resuelve el sistema formado por ambos paréntesis.
Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones…
Un vértice de un triángulo equilátero es el origen de coordenadas $(0,0)$ y el lado opuesto está contenido en la recta $x + y - 4 = 0$. Determina las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados del triángulo sabiendo que deben formar un ángulo de $60^\circ$ con el lado dado.
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus…
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 12x + 5y - 1 = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando sus vectores directores o sus pendientes, que ambas bisectrices son perpendiculares entre sí.
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de…
Un panel solar está alineado con la recta $r: \sqrt{3}x - y + 10 = 0$. Los rayos del sol inciden de forma paralela a la recta $s: 2x + 2y - 5 = 0$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos sobre el panel. Si se debe reorientar el panel pivotando sobre su punto de corte con el eje $OY$ para que los rayos incidan totalmente perpendiculares a su superficie, ¿cuál será la nueva ecuación general de la recta que define el panel?
Vuelve al principio: dos rieles son paralelos si sus pendientes coinciden, perpendiculares si el producto es $-1$, y en cualquier otro caso el ángulo sale de $\tan\alpha$.