Discusión de sistemas con un parámetro
En una fábrica de componentes electrónicos de Guadalajara, el costo de dos microchips depende de un impuesto variable $p$ que aparece en los coeficientes del sistema $(p+1)x+3y=25$, $2x+py=10$. ¿Para qué valores de $p$ hay una única solución? ¿Para cuáles no hay ninguna? Discutir un sistema es responder esas preguntas sin resolverlo una vez por cada valor del parámetro.
Sistemas 2×2 con parámetro
Un parámetro es una letra que representa un número fijo, pero desconocido, dentro de los coeficientes. Cada valor del parámetro da un sistema distinto.
Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta. Ya sabes que hay tres casos: las rectas se cortan en un punto, son paralelas o coinciden.
Mueve el deslizador y observa qué pasa con la segunda recta cuando $k$ cambia.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$: $ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips está dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un…
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips está dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:
$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $
Discute el sistema en función del impuesto $p$.
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para…
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para $k = 0$.
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $
Buscar el valor del parámetro que se pide
Muchos problemas no piden discutir todo, sino un valor concreto del parámetro. Según lo que pidan, cambia el método:
Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:…
Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $
Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible: $ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema: $ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Discutir con el método de Gauss
Con tres ecuaciones el procedimiento es triangular con Gauss, igual que sin parámetro. La diferencia es que en algún paso aparece un coeficiente con el parámetro, y hay que analizar qué pasa cuando vale cero.
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:…
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:…
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:
$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $
Sistemas homogéneos
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones: $ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:
$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo…
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $
Determina para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
Interpretación geométrica: rectas y planos
Una ecuación con dos incógnitas es una recta, y con tres incógnitas es un plano en el espacio. Discutir un sistema es decidir cómo se colocan esos objetos entre sí.
Tres rectas del plano pueden pasar por un mismo punto o formar un triángulo:
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Tres calles rectas de una nueva colonia están dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo…
Tres calles rectas de una nueva colonia están dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única y confluyan en una única plaza).
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $
Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones: $r: x + 2y = 3$ $s: 2x - y = 1$ $t: mx + (m+1)y = 4$ Discute la posición relativa de las tres rectas en…
Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:
$r: x + 2y = 3$
$s: 2x - y = 1$
$t: mx + (m+1)y = 4$
Discute la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observa el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).
Casos más finos: pivotes que se factorizan
En los ejercicios difíciles el pivote es una expresión como $a^2-1$ o $m^2+m-6$, y hay que factorizarla para ver todos los valores críticos. A veces el sistema es simétrico y conviene sumar las tres ecuaciones o restarlas entre sí.
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los…
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $
Discute el sistema según los valores de la tasa $r$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $
Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:…
Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $
Vuelve al principio: en el sistema de los microchips, $D=(p+1)p-6=p^2+p-6=(p+3)(p-2)$. Si $p\neq2$ y $p\neq-3$ hay una única solución. Si $p=2$ queda $3x+3y=25$ y $2x+2y=10$, que se contradicen. Si $p=-3$ queda $-2x+3y=25$ y $2x-3y=10$, que sumadas dan $0=35$. En ambos casos el sistema es incompatible: nunca hay infinitas soluciones.