Recta de regresión de y sobre x
Ximena junta datos de sus compañeros de la prepa: horas de estudio a la semana y calificación en el examen de admisión. La nube de puntos sube en línea más o menos recta. ¿Cómo puede trazar la recta que mejor resume esa nube para predecir la calificación de alguien que estudia 9 horas? Y, si quisiera predecir las horas a partir de la calificación, ¿usaría la misma recta? Lo resolvemos en este apartado.
La recta de regresión de Y sobre X
Si la nube de puntos tiene tendencia lineal, buscamos la recta que quede "lo más cerca posible" de todos los puntos. Para cada dato, el residuo es la distancia vertical entre el punto observado y la recta. La mejor recta es la que hace mínima la suma de los residuos al cuadrado (método de mínimos cuadrados).
Es la ecuación punto-pendiente de siempre, $y-y_1=m(x-x_1)$, con el punto $(\bar x,\bar y)$ y la pendiente $\sigma_{xy}/\sigma_x^2$. La pendiente lleva la covarianza arriba (dice si la nube sube o baja) y la varianza de $X$ abajo (dice cuánto se mueve $X$).
Si te dan la correlación en lugar de la covarianza
Como $r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$, se tiene $\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y$. Al sustituir en la pendiente:
$$m_{yx}=\frac{r\,\sigma_x\sigma_y}{\sigma_x^2}=r\,\frac{\sigma_y}{\sigma_x}$$Si te dan las sumas
Cuando el problema da $N$, $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$ y $\sum x_iy_i$, primero obtienes las medias, la varianza y la covarianza:
$$\bar x=\frac{\sum x_i}{N},\quad \sigma_x^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\bar x^2,\quad \sigma_{xy}=\frac{\sum x_iy_i}{N}-\bar x\,\bar y$$Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1.5$ y covarianza…
Conocidos los parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: media de $X$ igual a $4$, media de $Y$ igual a $6$, varianza de $X$ igual a $1.5$ y covarianza igual a $3$. Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
En una distribución bidimensional se sabe que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 2$ y $\sigma_y = 5$, y el coeficiente de correlación lineal es $r = -0.8$. Calcula…
En una distribución bidimensional se sabe que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 2$ y $\sigma_y = 5$, y el coeficiente de correlación lineal es $r = -0.8$. Calcula la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(10, 20)$.
Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el…
Una distribución bidimensional tiene por matriz de datos los siguientes sumatorios: $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, y el número total de observaciones es $N = 10$. Calcula la covarianza y la varianza de $X$, y escribe la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Calcular la recta a partir de una tabla
Si te dan los pares de valores, calcula $\bar x$, $\bar y$, $\sigma_x^2$ y $\sigma_{xy}$ y aplica la fórmula. Se puede acortar con $\sigma_{xy}=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{N}$.
Cuando falta un dato de la tabla
Un truco útil: como $\sum(x_i-\bar x)=0$, la pendiente también es
$$m_{yx}=\frac{\sum (x_i-\bar x)\,y_i}{\sum (x_i-\bar x)^2}$$Así el dato desconocido de $Y$ entra solo en una suma.
Dada la siguiente tabla con tres pares de valores de una distribución bidimensional: $X$: $1 \quad 2 \quad 3$ $Y$: $2 \quad 4 \quad 5$ Calcula la pendiente de la recta…
Dada la siguiente tabla con tres pares de valores de una distribución bidimensional:
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$X$: $1 \quad 2 \quad 3$
-
$Y$: $2 \quad 4 \quad 5$
Calcula la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de pesos) y los ingresos generados por ventas ($Y$,…
Una empresa de marketing digital ha recopilado datos sobre la inversión en campañas de redes sociales ($X$, en miles de pesos) y los ingresos generados por ventas ($Y$, en decenas de miles de pesos) durante $5$ meses consecutivos:
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$X$: $50 \quad 60 \quad 70 \quad 80 \quad 90$
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$Y$: $240 \quad 280 \quad 300 \quad 360 \quad 380$
Calcula la recta de regresión de los ingresos en función de la inversión y estima los ingresos esperados si se invierten $100\,000$ pesos.
Se dispone de un conjunto de datos bivariantes $(x_i, y_i)$ donde la variable $X$ toma los valores $1, 2, 3, 4$ y la variable $Y$ toma los valores $2, k, 5, 8$. Sabiendo…
Se dispone de un conjunto de datos bivariantes $(x_i, y_i)$ donde la variable $X$ toma los valores $1, 2, 3, 4$ y la variable $Y$ toma los valores $2, k, 5, 8$. Sabiendo que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1.9$, plantea una ecuación y determina el valor exacto del parámetro $k$.
Interpretar la recta y estimar con ella
En $y=mx+b$:
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La pendiente $m$ dice cuánto cambia $Y$, en promedio, por cada unidad que aumenta $X$. Si $m<0$, al crecer $X$ baja $Y$.
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La ordenada al origen $b$ es el valor estimado de $Y$ cuando $X=0$. Solo tiene sentido si $X=0$ es razonable en el problema.
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Para estimar, sustituye el valor de $X$ en la recta.
Si te dan la recta y solo una media, el centro de gravedad te da la otra: como la recta pasa por $(\bar x,\bar y)$, se cumple $\bar y=m\bar x+b$.
Leer la recta en una gráfica
Si la recta aparece dibujada y se marcan dos puntos sobre ella, $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, la pendiente es $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ y después usas punto-pendiente. La ordenada al origen es donde la recta cruza el eje $Y$.
En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de…
En un estudio sobre la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado ($X$, en kg/ha) y la producción obtenida ($Y$, en toneladas/ha), se ha calculado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$, resultando ser $y = 0.4x + 2.1$. Estima la producción que se obtendrá si se aplican $15$ kg/ha de fertilizante.
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional es $y = 1.2x - 0.5$. Si sabemos que la media marginal de la variable $X$ es $\bar{x} = 3$, ¿cuál…
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bidimensional es $y = 1.2x - 0.5$. Si sabemos que la media marginal de la variable $X$ es $\bar{x} = 3$, ¿cuál es el valor exacto de la media marginal $\bar{y}$?
Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de…
Las variables $X$ e $Y$ representan, respectivamente, el número de horas de entrenamiento semanal y el tiempo en segundos en recorrer $100$ metros lisos de un grupo de atletas. Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0.5x + 14$, interpreta el significado físico de la pendiente de esta recta en el contexto del problema.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia de un grupo de técnicos y su salario mensual en cientos de pesos, junto con la…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia de un grupo de técnicos y su salario mensual en cientos de pesos, junto con la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir de la representación gráfica, estima visualmente el salario esperado para un técnico con $6$ años de experiencia y determina la ordenada al origen de la recta.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el costo de extracción por…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la profundidad a la que se encuentra una veta de mineral ($X$, en metros) y el costo de extracción por tonelada ($Y$, en miles de pesos). La recta trazada es la de regresión de $Y$ sobre $X$. A partir de la gráfica, obtén las coordenadas de los dos puntos marcados sobre la recta, calcula su ecuación exacta y estima el costo de extracción para una profundidad de $120$ metros.
Dos rectas y su relación con r
También existe la recta de $X$ sobre $Y$, que minimiza los errores al predecir $X$:
$$x-\bar x = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y-\bar y)$$Su pendiente, medida como $\Delta x/\Delta y$, es $m_{xy}=\sigma_{xy}/\sigma_y^2$.
La razón: ambas rectas se construyen con el mismo numerador $\sigma_{xy}$, y las dos pasan por el centro porque se construyen con desviaciones respecto de las medias.
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0.5x + 4$ y $x = 1.6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de…
Las rectas de regresión de una distribución bidimensional vienen dadas por las ecuaciones $y = 0.5x + 4$ y $x = 1.6y - 2$. Determina las coordenadas del centro de gravedad de la distribución y el coeficiente de correlación lineal $r$, indicando razonadamente su signo.
Se ha estudiado la relación entre la cantidad de impurezas en una aleación metálica ($X$, en $\%$ ) y su resistencia a la tracción ($Y$, en MPa). Tras analizar $20$…
Se ha estudiado la relación entre la cantidad de impurezas en una aleación metálica ($X$, en $\%$ ) y su resistencia a la tracción ($Y$, en MPa). Tras analizar $20$ muestras, se obtuvo $\bar{x} = 2.1$, $\bar{y} = 450$, y una recta de regresión de $Y$ sobre $X$ dada por $y = -15x + 481.5$. Calcula la covarianza de la distribución si se sabe que la varianza de las impurezas es $\sigma_x^2 = 0.8$.
El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las…
El siguiente gráfico muestra una nube de puntos que relaciona la velocidad de un vehículo ($X$, en km/h) con la distancia de frenado ($Y$, en metros). Se han trazado las dos rectas de regresión: la Recta A (en azul) y la Recta B (en verde). Identifica razonadamente, basándote en las propiedades de las pendientes, cuál de las dos rectas es la de regresión de $Y$ sobre $X$ y halla su ecuación sabiendo que ambas se cortan en el punto $(80, 40)$ y que la azul pasa por $(100, 56)$.
Si |r| = 1, las dos rectas coinciden
La pendiente de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$. Para comparar, escribimos la recta de $X$ sobre $Y$ en la forma $y=mx+n$: su pendiente en el plano es $\dfrac{1}{m_{xy}}=\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}}$.
Variables estandarizadas
Si defines $Z_x=\dfrac{X-\bar x}{\sigma_x}$ y $Z_y=\dfrac{Y-\bar y}{\sigma_y}$, ambas tienen media $0$ y desviación $1$. Entonces $\sigma_{z_xz_y}=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}=r$ y $\sigma_{z_x}^2=1$. La recta de $Z_y$ sobre $Z_x$ es
$$z_y-0=\frac{r}{1}(z_x-0)\ \Rightarrow\ z_y=r\,z_x$$Pasa por el origen y su pendiente es exactamente $r$.
Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$…
Demuestra analíticamente que si las variables $X$ e $Y$ tienen una correlación lineal perfecta ($r = 1$ o $r = -1$), entonces la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ coincide exactamente con la recta de regresión de $X$ sobre $Y$. Explica brevemente qué implicación geométrica tiene esto sobre el ángulo que forman ambas rectas en el plano.
En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si…
En una investigación farmacéutica, se modeliza la concentración de un principio activo en sangre ($Y$, en mg/L) en función de la dosis administrada ($X$, en mg). Si realizamos un cambio de variable estandarizando ambas variables, es decir, definimos $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$, demuestra algebraicamente que la recta de regresión de $Z_y$ sobre $Z_x$ pasa por el origen de coordenadas y que su pendiente es exactamente el coeficiente de correlación lineal $r$.
Qué tan buena es la recta: R² y residuos
El coeficiente de determinación es $R^2=r^2$. Indica la fracción de la variabilidad de $Y$ que explica la recta; el resto, $1-r^2$, queda sin explicar. Con $N$ datos, la suma de los cuadrados de los residuos es
$$\sum (y_i-\hat y_i)^2=N\,\sigma_y^2\,(1-r^2)$$Y si conoces la pendiente, $m_{yx}=r\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ o, en forma equivalente, $m_{yx}^2=r^2\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2}$. Con $r^2$ y las varianzas despejas $|m_{yx}|$. También, si conoces $m_{yx}$ y $\sigma_x^2$, $\sigma_{xy}=m_{yx}\sigma_x^2$.
En un centro meteorológico se relaciona la presión atmosférica ($X$, en hPa) con la probabilidad de precipitación ($Y$, en $\%$). Sabiendo que el centro de gravedad de…
En un centro meteorológico se relaciona la presión atmosférica ($X$, en hPa) con la probabilidad de precipitación ($Y$, en $\%$). Sabiendo que el centro de gravedad de la distribución es el punto $(1013, 40)$, la desviación típica de la presión es $5$ hPa, la de la probabilidad es $20\%$, y el coeficiente de correlación lineal es $-0.85$, halla la ecuación de la recta de regresión que permite estimar la probabilidad de lluvia conociendo la presión atmosférica.
En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es…
En un análisis macroeconómico, se relaciona la tasa de inflación ($X$, en $\%$ ) con la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -0.6x + 8$. Si la varianza marginal de la inflación es $\sigma_x^2 = 4$ y la varianza marginal del desempleo es $\sigma_y^2 = 2.25$, determina el coeficiente de correlación lineal $r$ y el porcentaje de la variabilidad del desempleo que queda explicada por el modelo de regresión lineal.
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$).…
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, la variable $X$ representa la irradiancia solar ($W/m^2$) y la variable $Y$ la potencia eléctrica generada ($W$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ viene dada por $y = 0.18x + 5$, y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ por $x = 5y - 10$. Calcula las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$, y halla el porcentaje exacto de la variabilidad de la potencia eléctrica que queda explicada por la irradiancia solar.
Un ingeniero civil estudia la relación entre la carga soportada por una viga ($X$, en toneladas) y su deformación máxima ($Y$, en milímetros). Se han perdido algunos…
Un ingeniero civil estudia la relación entre la carga soportada por una viga ($X$, en toneladas) y su deformación máxima ($Y$, en milímetros). Se han perdido algunos datos del informe original, pero se sabe que la media de la carga es $\bar{x} = 15$, la varianza de la carga es $\sigma_x^2 = 16$, la covarianza es $\sigma_{xy} = 18$, el coeficiente de correlación es $r = 0.9$ y la ordenada al origen de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $b = 2$. Calcula la media de la deformación $\bar{y}$, la desviación estándar $\sigma_y$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado…
Se ha estudiado una distribución bidimensional de $100$ pares de valores. Se sabe que la suma de los cuadrados de los residuos (la suma de las diferencias al cuadrado entre los valores reales observados $y_i$ y los estimados por la recta $\hat{y}_i$) es igual a $150$. Si la varianza marginal de la variable $Y$ es $\sigma_y^2 = 4$, halla el coeficiente de determinación $R^2$ utilizando la relación $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \times \sigma_y^2 (1 - r^2)$, y calcula el valor absoluto de la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ sabiendo que la varianza marginal de $X$ es $\sigma_x^2 = 9$.
Cambios de unidad o de origen
Si transformas los datos con $X'=X+a$ y $Y'=cY$, la nube se traslada y se estira, y la recta cambia con ella. La forma más segura es sustituir.
Sumar una constante a $X$ no cambia la pendiente; multiplicar $Y$ por $c$ multiplica la pendiente por $c$.
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a…
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de una distribución bivariante es $y = 3x - 2$. Si a todos los valores observados de la variable $X$ se les suma $4$ unidades y a todos los valores de la variable $Y$ se les multiplica por $2$, ¿cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$?
Predecir con prudencia: interpolación y extrapolación
Dos reglas antes de confiar en una estimación:
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Interpolar es estimar con un valor de $X$ dentro del rango de los datos. Suele ser razonable.
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Extrapolar es estimar fuera del rango. Nada garantiza que la tendencia siga siendo lineal, y puede dar resultados absurdos.
Además, la fiabilidad depende de $|r|$ (o $R^2$): cuanto más cerca de $1$, mejor la predicción.
En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida…
En un experimento de termodinámica se mide la temperatura de un líquido ($Y$, en ºC) en función del tiempo transcurrido ($X$, en minutos). La recta de regresión obtenida es $y = -1.5x + 85$. Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0.95$ y que el experimento tuvo una duración total de $30$ minutos, ¿es fiable estimar la temperatura a los $45$ minutos usando esta recta? Justifica tu respuesta basándote en los conceptos de interpolación y extrapolación.
En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes…
En un estudio de biomecánica, se analiza la relación entre la longitud del fémur ($X$, en cm) y la altura de un individuo ($Y$, en cm). Se dispone de los siguientes resúmenes estadísticos para una muestra de $50$ personas:
$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3.2$, $\sigma_y = 8.5$, $r = 0.92$.
Halla la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima la altura de una persona cuyo fémur mide $48$ cm. Justifica brevemente la fiabilidad de esta estimación.
Vuelve al principio: Ximena calcula $\bar x$, $\bar y$, $\sigma_x^2$ y $\sigma_{xy}$, escribe la recta de calificación sobre horas y sustituye $x=9$ solo si 9 está dentro del rango de sus datos. Para predecir las horas a partir de la calificación necesita la recta de $X$ sobre $Y$, que es otra.