Ximena y Diego van a pintar una barda en Puebla. Juntos terminan en 4 horas, y Ximena, sola, tardaría 6 horas menos que Diego. ¿Cuánto tarda cada uno? Esa ecuación tiene la incógnita en el denominador y no se parece a $ax^2+bx+c=0$. Aquí aprenderás a reconocer qué truco la convierte en algo conocido: un cambio de variable, una propiedad de potencias o logaritmos, elevar al cuadrado o la división sintética.
Ecuaciones bicuadradas
¿Por qué funciona? Porque $x^4=(x^2)^2$. Si llamas $t$ a $x^2$, la ecuación queda de segundo grado.
La gráfica corta el eje $x$ en cuatro puntos, que son las cuatro soluciones.
Practica★☆☆Sin empezar
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ cm y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto…
Dos mangueras llenan un depósito en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y…
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ km río abajo de la torre y a $1$ km tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ km, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación…
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \times 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro: $2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ cm, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$…
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro cifras enteras positivas, consecutivas y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esas cuatro cifras, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro cifras.
Cuando aparece una letra como $k$, hay que discutir cuántas soluciones tiene la ecuación según su valor. Con un cambio de variable, cada restricción del cambio ($t\ge0$) cuenta.
Practica★★★Sin empezar
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.
Para hallar dónde se cruzan dos curvas se igualan sus expresiones y se resuelve. Después hay que comprobar cada punto en las dos curvas.
Practica★★★Sin empezar
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte…
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de corte algebraicamente.
Los problemas de velocidad llevan a ecuaciones racionales con $t=\dfrac dv$: si el tiempo cambia en una hora, se plantea una ecuación con dos fracciones.
Practica★★☆Sin empezar
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \times e^{-0.05t}$.…
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en gramos tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \times e^{-0.05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ gramos de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos neperianos.
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ km, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ km/h, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un…
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4.2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?