Función derivada
Un camión del Metrobús sale de la estación y su posición cambia con el tiempo. En cada instante el velocímetro marca un número distinto. ¿Existe una función que te dé ese número en cualquier momento? Sí: es la función derivada, y en esta página aprendes a obtenerla y a leer lo que dice de la función original.
La función derivada
Hasta ahora calculabas $f'(a)$ en un punto concreto $a$. Si planteas el mismo límite para un $x$ cualquiera, el resultado ya no es un número, sino otra función.
Aplica la definición de derivada mediante el cálculo del límite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para encontrar la función derivada de…
Aplica la definición de derivada mediante el cálculo del límite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para encontrar la función derivada de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.
Obtener f'(x) con las reglas
Usar el límite cada vez es largo. Con las reglas que ves con detalle en otros apartados se deriva directo. Aquí las usas como herramienta:
| Función | Derivada |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ (con $n$ entero, positivo o negativo, o fracción) | $n x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\operatorname{sen} x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\operatorname{sen} x$ |
| Regla | Fórmula |
|---|---|
| Múltiplo por constante | $(c\,f)'=c\,f'$ |
| Suma | $(f+g)'=f'+g'$ |
| Producto | $(fg)'=f'g+fg'$ |
| Cociente | $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ |
| Cadena | $\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ |
La regla de la cadena se entiende así: si $g$ cambia a cierto ritmo y $f$ responde a $g$ con otro ritmo, el ritmo total es el producto de ambos.
La constante que multiplica "se queda" y solo se deriva la parte con $x$. Y la fórmula de $x^n$ también sirve con exponentes negativos: primero reescribe $\dfrac1{x^2}=x^{-2}$.
Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica y exponencial, aplicando las reglas básicas de derivación:…
Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica y exponencial, aplicando las reglas básicas de derivación:
$f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{5}{x^2} - 3e^x$
Obtén la función derivada de $f(x)$ aplicando la regla de la derivada de un producto. Simplifica el resultado en la medida de lo posible.…
Obtén la función derivada de $f(x)$ aplicando la regla de la derivada de un producto. Simplifica el resultado en la medida de lo posible.
$f(x) = (2x^3 - x + 4) \times \ln(x)$
Halla la función derivada aplicando la regla del cociente. Expresa el resultado final con el numerador simplificado. $f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$
Halla la función derivada aplicando la regla del cociente. Expresa el resultado final con el numerador simplificado.
$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$
Utiliza la regla de la cadena para determinar la función derivada de la siguiente función trigonométrica compuesta: $f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$
Utiliza la regla de la cadena para determinar la función derivada de la siguiente función trigonométrica compuesta:
$f(x) = \cos(5x^3 - 2x^2 + 1)$
Calcula el valor exacto de la derivada de la función $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ evaluada en el punto de abscisa $x = 2$.
Calcula el valor exacto de la derivada de la función $f(x) = \sqrt{3x^2 + 4}$ evaluada en el punto de abscisa $x = 2$.
Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión de $f(x)$ antes de derivar y, a continuación, calcula su función derivada simplificada:…
Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión de $f(x)$ antes de derivar y, a continuación, calcula su función derivada simplificada:
$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}} \right)$
El número de reproducciones acumuladas de un video viral tras $t$ horas de su publicación sigue una ley de crecimiento exponencial dada por…
El número de reproducciones acumuladas de un video viral tras $t$ horas de su publicación sigue una ley de crecimiento exponencial dada por $R(t) = 1500 \times 3^{0.4t}$.
Obtén la función que describe la tasa de crecimiento instantáneo de las reproducciones, $R'(t)$, y calcula dicha tasa a las $5$ horas.
Dominio de derivabilidad
Cuando una función por partes tiene parámetros, se exige que en el punto de unión se cumplan dos condiciones: que sea continua (los dos trozos valen lo mismo) y que las derivadas laterales coincidan. Dos condiciones, dos ecuaciones para dos parámetros.
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en $x = 2$:…
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en $x = 2$:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x & \text{si } x \le 2 \\ bx^3 - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$. Expresa $f(x)$ como una función definida a trozos y calcula su función derivada $f'(x)$.…
Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$.
Expresa $f(x)$ como una función definida a trozos y calcula su función derivada $f'(x)$. Demuestra analíticamente por qué la función no es derivable en los puntos angulosos señalados en la gráfica.
El signo de f'(x) y el crecimiento de f
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa la trayectoria de un proyectil en función del tiempo. A partir de la representación visual, determina el signo de…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa la trayectoria de un proyectil en función del tiempo.
A partir de la representación visual, determina el signo de la función derivada $f'(x)$ en las abscisas $x = 1$, $x = 2$ y $x = 3$. Justifica tu respuesta basándote en el concepto geométrico de la derivada.
La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una cierta función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$. Observando exclusivamente el comportamiento de…
La siguiente gráfica representa la función derivada $f'(x)$ de una cierta función $f(x)$ continua en todo $\mathbb{R}$.
Observando exclusivamente el comportamiento de $f'(x)$, determina los intervalos donde la función original $f(x)$ es creciente y donde es decreciente. ¿En qué abscisas presentará $f(x)$ extremos relativos?
En el siguiente panel se muestran dos curvas, A (azul) y B (verde). Se sabe que una de ellas corresponde a una función polinómica $f(x)$ y la otra a su función derivada…
En el siguiente panel se muestran dos curvas, A (azul) y B (verde). Se sabe que una de ellas corresponde a una función polinómica $f(x)$ y la otra a su función derivada $f'(x)$.
Identifica razonadamente cuál curva representa a $f(x)$ y cuál a $f'(x)$ basándote en la relación geométrica entre los puntos de corte, los extremos relativos y el crecimiento. A continuación, deduce el signo de la segunda derivada $f''(x)$ en la abscisa $x = 0$.
Puntos críticos y extremos locales
Asíntota vertical y parámetros
Algunos ejercicios dan una función racional con un dato como «tiene una asíntota vertical en $x=-2$». Una asíntota vertical en $x=a$ aparece cuando el denominador se anula en $a$ pero el numerador no: al acercarte a $a$ los valores de $f$ crecen o decrecen sin límite ($\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$), y la gráfica se pega a la recta $x=a$ sin tocarla.
En un experimento de cinética química, la concentración de un reactivo en función del tiempo $t$ (en minutos) se ajusta a la expresión $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ en…
En un experimento de cinética química, la concentración de un reactivo en función del tiempo $t$ (en minutos) se ajusta a la expresión $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ en moles por litro.
Encuentra la función derivada $C'(t)$ que representa la velocidad de reacción. ¿En qué instante $t > 0$ la velocidad de reacción es nula?
Halla las abscisas de los puntos de la curva $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ en los que la recta tangente es horizontal.
Halla las abscisas de los puntos de la curva $f(x) = e^{3x}(x^2 - 4x + 2)$ en los que la recta tangente es horizontal.
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a, b, c$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(0, 3)$,…
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + b}{cx + 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a, b, c$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(0, 3)$, tiene una asíntota vertical en $x = -2$ y presenta una recta tangente horizontal en el punto de abscisa $x = 1$.
Derivada como razón de cambio y como pendiente
Cuando $f$ describe una cantidad que cambia, $f'$ es su razón de cambio instantánea. Con el tiempo es la velocidad; con costos es el costo marginal. En una gráfica, $f'(a)$ es la pendiente de la tangente en $x=a$.
La ecuación de movimiento de un vehículo autónimo en pruebas viene dada por la función $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, donde $s$ es la posición en metros y $t$ el…
La ecuación de movimiento de un vehículo autónimo en pruebas viene dada por la función $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, donde $s$ es la posición en metros y $t$ el tiempo en segundos ($t \ge 0$).
Halla la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instantes de tiempo el vehículo se detiene momentáneamente.
El costo total de producción, en pesos, de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión se modela mediante la función…
El costo total de producción, en pesos, de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión se modela mediante la función $C(x) = 0.40x^3 - 12x^2 + 800x + 10\,000$.
Calcula la función de costo marginal $C'(x)$ y evalúa su valor cuando se producen exactamente $x = 15$ unidades. Interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.
En el diseño de un puente colgante, el perfil del cable principal adopta la forma de una catenaria cuya ecuación en un sistema de referencia es…
En el diseño de un puente colgante, el perfil del cable principal adopta la forma de una catenaria cuya ecuación en un sistema de referencia es $f(x) = \frac{e^{x/10} + e^{-x/10}}{2}$ (con $x$ e $y$ en metros).
Calcula el ángulo de inclinación $\alpha$ que forma la recta tangente al cable con la horizontal en el punto de anclaje situado en $x = 10$ metros.
La derivada segunda y las derivadas sucesivas
Para que exista $f''$ en el punto de unión de una función por partes, hay que exigir tres cosas en ese punto: $f$ continua, $f'$ continua (las derivadas laterales de $f$ coinciden) y las segundas derivadas laterales iguales. Es decir, el mismo procedimiento de antes, aplicado un nivel más.
Determina la segunda derivada, $f''(x)$, de la función $f(x) = x^4 \times \ln(x)$.
Determina la segunda derivada, $f''(x)$, de la función $f(x) = x^4 \times \ln(x)$.
Halla la expresión general de la derivada enésima, $f^n(x)$, para la función $f(x) = \ln(3x - 2)$. Sugerencia: calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas y deduce…
Halla la expresión general de la derivada enésima, $f^n(x)$, para la función $f(x) = \ln(3x - 2)$. Sugerencia: calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas y deduce el patrón.
Demuestra que la función $y = e^{-2x} \times \sin(3x)$ es una solución particular de la ecuación diferencial lineal de segundo orden: $y'' + 4y' + 13y = 0$
Demuestra que la función $y = e^{-2x} \times \sin(3x)$ es una solución particular de la ecuación diferencial lineal de segundo orden:
$y'' + 4y' + 13y = 0$
Se considera la función $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$. Determina la relación matemática que…
Se considera la función $f(x) = \begin{cases} e^{ax} - 1 & \text{si } x \le 0 \\ b \sin(x) + c x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$.
Determina la relación matemática que debe existir entre los parámetros $a, b, c$ para que exista la segunda derivada en el origen, es decir, para que $f''(0)$ sea un valor real bien definido.