Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
Una taquería prepara tacos de pastor y de suadero con una cantidad limitada de carne y de tortillas. ¿Cuántos tacos de cada tipo puede preparar sin pasarse de lo que tiene? Con una incógnita, la solución de una inecuación era un intervalo; con dos ($x$ e $y$) ya no cabe en una recta: es una región del plano. Un sistema de varias inecuaciones recorta esa región hasta dejar, muchas veces, un polígono: la región factible, base de la programación lineal. Al final de la página volveremos a la taquería.
Una inecuación con dos incógnitas es una región
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representar la región: la recta frontera y el semiplano
Primero se traza la recta frontera (como si fuera una igualdad) y después se decide, con un punto de prueba, qué lado sombrear. La recta va discontinua si la desigualdad es estricta y continua si incluye el igual.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Sistemas: la región factible y sus vértices
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Problemas: plantear el sistema desde un enunciado
Lo más útil de este tema es modelar una situación con recursos limitados (horas, kilos, presupuesto, lugares) como un sistema de inecuaciones y hallar la región factible.
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de…
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $400$ pesos por hectárea y la de cebada $600$ pesos por hectárea. El…
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para sembrar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $400$ pesos por hectárea y la de cebada $600$ pesos por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $24\,000$ pesos. Además, por normas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y halla los vértices de la región factible.
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B,…
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B, $1$ kg de cobre, $2$ kg de zinc y $3$ kg de estaño. Se dispone en el almacén de un máximo de $300$ kg de cobre, $200$ kg de zinc y $240$ kg de estaño. Plantea el sistema de inecuaciones que describe las posibles producciones de ambas aleaciones, representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.
Del polígono al sistema y regiones especiales
También se puede ir al revés: dado el polígono, escribir su sistema. Para cada lado, halla la ecuación de la recta que pasa por dos vértices y decide el sentido de la desigualdad con un punto interior.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región…
Se da el sistema de inecuaciones $x + y \le 6$, $2x + y \le 8$, $x \ge 0$ e $y \ge k$. Discute, en función del parámetro $k$, el número de vértices que tiene la región factible. ¿Para qué valores de $k$ la región factible se reduce al conjunto vacío?
Área de la región factible
Una vez que tienes los vértices, puedes calcular cuánta superficie ocupa la región. Si es un triángulo, basta $A=\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}$; es cómodo cuando un lado es horizontal o vertical.
Para cualquier polígono, con los vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ recorridos en orden (en el sentido de las manecillas del reloj o al contrario), se usa:
Si una restricción depende de un parámetro $k$, los vértices también dependen de $k$: se resuelven las rectas igual, dejando $k$ en las coordenadas, y se sustituyen en la base y la altura (o en la fórmula).
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Calcula el área de la región del plano definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $y \ge x + 2$, $y \ge -x + 2$ e $y \le 4$.
Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a…
Dado el sistema de inecuaciones $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -1$ e $y \ge 0$. Analiza cómo cambia el área de la región factible si la primera restricción se modifica a $2x + 3y \le 12 + k$, con $k > 0$. Expresa el área de la nueva región en función de $k$, asumiendo que la forma geométrica del polígono resultante se mantiene como un triángulo.
Función objetivo y programación lineal
Volvamos a la taquería: no basta saber qué producciones son posibles, queremos la mejor, por ejemplo la que deja más ganancia.
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Una empresa de renta de vehículos dispone de autos y camionetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $200$ pesos y el de una camioneta $400$ pesos. El presupuesto…
Una empresa de renta de vehículos dispone de autos y camionetas. El mantenimiento diario de un auto cuesta $200$ pesos y el de una camioneta $400$ pesos. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $6\,000$ pesos. El estacionamiento tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determina la región factible y halla el número máximo de camionetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ autos.
Más modelos y casos con parámetro
Los problemas más largos combinan varias restricciones. Organiza siempre el procedimiento: (1) define las incógnitas, (2) escribe cada restricción, (3) añade $x\ge0$, $y\ge0$, (4) dibuja, (5) calcula y verifica los vértices.
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$…
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante. Puedes hacerlo…
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad…
Para la organización de un concierto se venden entradas VIP ($x$) y entradas estándar ($y$). El aforo máximo del recinto es de $5000$ personas. Por motivos de seguridad y rentabilidad, el número de entradas estándar no puede superar el triple de las entradas VIP. Además, los organizadores exigen que se vendan al menos $1000$ entradas VIP. Escribe el sistema de inecuaciones, halla los vértices de la región factible y determina algebraicamente si es posible vender exactamente $1500$ entradas VIP y $4000$ estándar.
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos.…
Un nutricionista diseña una dieta basada en dos alimentos, X e Y. Cada porción del alimento X aporta $20$ g de proteínas, $10$ g de grasas y $40$ g de carbohidratos. Cada porción de Y aporta $15$ g de proteínas, $20$ g de grasas y $30$ g de carbohidratos. La dieta debe aportar al menos $120$ g de proteínas, no más de $100$ g de grasas y exactamente $240$ g de carbohidratos. Plantea el sistema de inecuaciones y ecuaciones asociado. ¿Se trata de una región bidimensional o de un segmento? Justifica tu respuesta y halla los extremos del conjunto solución.
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje…
La imagen muestra una región factible en forma de cuadrilátero, que modeliza las limitaciones de un proyecto de ingeniería de software (horas de programación en el eje $X$ vs horas de testeo en el eje $Y$). Los vértices son $P(0, 4)$, $Q(2, 5)$, $R(5, 2)$ y $S(3, 0)$. Determina el sistema de inecuaciones que define exactamente esta región.
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de…
Una fábrica de muebles produce sillas y mesas. Cada silla requiere $2$ horas de corte y $1$ hora de ensamblaje. Cada mesa requiere $1$ hora de corte y $3$ horas de ensamblaje. Los trabajadores pueden dedicar un máximo de $40$ horas semanales al corte y $60$ horas al ensamblaje. Además, por un contrato previo, se deben fabricar al menos $5$ mesas semanales y el número de sillas no puede ser inferior al número de mesas. Plantea el sistema de inecuaciones, represéntalo y halla todos los vértices de la región factible.
Vuelve al principio: los tacos que puede preparar la taquería son los puntos de una región factible; el mejor reparto entre pastor y suadero está en uno de sus vértices.