La recta real
En el laboratorio de tu prepa, un sensor de temperatura marca $25.0^\circ\text{C}$, pero nunca da "el" valor exacto: siempre tiene una incertidumbre de $0.2^\circ\text{C}$. ¿Cómo escribes, sin ambigüedad, todos los valores en los que podría estar la temperatura real? Con intervalos, entornos y valor absoluto, el lenguaje que usarás en física, química y en el cálculo de los próximos semestres.
Intervalos y desigualdades
Cada número real es un punto de la recta, y una desigualdad señala un tramo de esa recta. Un intervalo es la forma abreviada de escribir ese tramo.
Por ejemplo, $x \ge -3$ y $x < 5$ se escribe como desigualdad doble $-3 \le x < 5$ y como intervalo $[-3, 5)$. En la recta, $-3$ va con punto relleno y $5$ con punto hueco.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Expresa como intervalo y como desigualdad el conjunto de números reales que son mayores o iguales que $-3$ y estrictamente menores que $5$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Escribe en forma de intervalo el conjunto de números reales que cumplen la condición $|x| \le 7$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$: $-1.01$, $-1$, $3.14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Indica cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo $[-1, \pi)$:
$-1.01$, $-1$, $3.14$, $\frac{22}{7}$, $\sqrt{10}$.
Entornos: E(a, r)
Cuando un dato se da como "un valor central con tolerancia", el intervalo está centrado en ese valor. A esa forma se le llama entorno o vecindad, y la volverás a ver al estudiar límites.
Para pasar de un intervalo a un entorno: el centro es el punto medio, $a = \frac{\text{izquierdo} + \text{derecho}}{2}$, y el radio es la mitad de la longitud, $r = \frac{\text{derecho} - \text{izquierdo}}{2}$.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Expresa el entorno $E(-1, 3)$ como un intervalo numérico y descríbelo mediante una desigualdad con valor absoluto.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
Dado el intervalo abierto $(2, 8)$, exprésalo en forma de entorno indicando explícitamente cuál es su centro $a$ y su radio $r$.
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112.5 , 127.5]$, expresa este rango…
El precio de una acción en bolsa fluctúa alrededor de un valor central. Si el intervalo de fluctuación durante la semana ha sido $[112.5 , 127.5]$, expresa este rango utilizando la notación de entorno $E(a, r)$ y mediante una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.
Distancia y ecuaciones con valor absoluto
Con esta idea, una ecuación como $|x - 4| = 9$ se lee: "¿qué números están a distancia $9$ del número $4$?".
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4.5$ y $B = 2.3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -4.5$ y $B = 2.3$, y expresa la operación matemática utilizando la notación de valor absoluto.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 4| = 9$.
Tolerancias: valor absoluto en desigualdades
Las dos formas de leer un valor absoluto con una desigualdad:
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0.5^{\circ}\text{C}$.…
En un laboratorio de biología, una incubadora debe mantener una temperatura $T$ en grados Celsius que no difiera de $37^{\circ}\text{C}$ en más de $0.5^{\circ}\text{C}$. Expresa esta condición de tolerancia mediante una desigualdad con valor absoluto y determina el intervalo de temperaturas permitidas.
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0.02$.…
Una pieza de motor cilíndrica tiene un diámetro ideal de $50\text{ mm}$. El control de calidad rechaza la pieza si el diámetro $d$ medido cumple que $|d - 50| > 0.02$. Escribe el intervalo de diámetros que son aceptados por el control de calidad.
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple…
En una competición de tiro con arco, un lanzamiento se considera "excelente" si la flecha impacta a una distancia $d$ del centro de la diana que cumple $|d| < 2.5\text{ cm}$. Si la diana está situada de modo que su centro es el origen de coordenadas de un eje unidimensional, indica el intervalo de posiciones "excelentes".
Unión, intersección y complementario
Como los intervalos son conjuntos, se pueden combinar:
-
Unión $A \cup B$: los números que están en $A$, en $B$, o en ambos.
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Intersección $A \cap B$: los números que están en $A$ y en $B$.
-
Complementario $\mathbb{R} \setminus I$: los reales que no están en $I$.
La forma más segura de operar es dibujar cada intervalo en una recta, uno abajo del otro, y mirar qué queda.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-2, 4)$ y $B = (1, 6]$, determina y expresa como un único intervalo el resultado de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.
Dados los conjuntos $A = (-\infty, 2]$, $B = (-1, 5)$ y $C = [0, +\infty)$, calcula $(A \cap B) \cup C$ y expresa el resultado como un único intervalo numérico.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Considera el intervalo $I = [-3, 4)$. Determina el conjunto complementario $\mathbb{R} \setminus I$ y exprésalo como la unión de dos intervalos.
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelven con la propiedad de la sección de tolerancias: se quita el valor absoluto con una desigualdad doble y se despeja $x$ en toda la cadena.
Cuando hay dos valores absolutos, conviene pensar en distancias.
Para valores absolutos anidados se resuelve de afuera hacia adentro.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|2x - 5| \le 3$ y representa el conjunto solución en forma de intervalo.
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo. La figura muestra la…
Encuentra el conjunto de números reales $x$ que satisfacen la inecuación $|x + 2| + |x - 3| \le 7$. Expresa el resultado en forma de intervalo.
La figura muestra la gráfica de la función $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$ y la recta $y = 7$, para que puedas contrastar tu resultado.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Resuelve la inecuación con valores absolutos anidados $||x - 1| - 2| \le 1$ y expresa la solución final como la unión de dos intervalos cerrados.
Parámetros y cotas
Hay problemas donde un extremo depende de un parámetro, o donde una medición con error se traduce a otra cantidad. Siempre se hace igual: traducir a desigualdades, dibujar en la recta e interpretar.
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de…
Determina los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la intersección de los intervalos $A = (-\infty, 2k]$ y $B = (k + 3, +\infty)$ es un intervalo de longitud exactamente igual a $5$.
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté…
En un experimento de óptica, la posición $x$ de una lente a lo largo de un riel unidimensional debe satisfacer simultáneamente dos condiciones para que la imagen esté enfocada: la distancia a la fuente de luz $A$ (situada en $x=10$) debe ser mayor de $5\text{ cm}$, y la distancia a la pantalla $B$ (situada en $x=30$) debe ser menor de $12\text{ cm}$. Expresa estas condiciones mediante un sistema de inecuaciones con valor absoluto y determina el intervalo válido para la posición $x$.
La medida del radio de una esfera es $r = 5.0 \pm 0.1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el…
La medida del radio de una esfera es $r = 5.0 \pm 0.1\text{ cm}$. Utilizando las propiedades de las desigualdades y los intervalos en la recta real, determina el intervalo estricto en el que se encuentra el volumen exacto de la esfera, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Considera el valor de $\pi$ sin aproximar en los extremos del intervalo resultante.
Irracionales en la recta
Los irracionales también ocupan lugar en la recta, y a veces se pueden ubicar exactamente con regla y compás usando el teorema de Pitágoras. Además, entre dos racionales siempre hay irracionales.
Ubicar $\sqrt{13}$
Si buscas un número que sea raíz de una suma de cuadrados, usa un triángulo rectángulo. Como $13 = 9 + 4 = 3^2 + 2^2$, la hipotenusa de un triángulo de catetos $3$ y $2$ mide $\sqrt{13}$.
La razón áurea
Con una construcción parecida se obtiene $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Parte de un cuadrado de lado $1$. Marca el punto medio $M$ de su base, une $M$ con el vértice superior derecho y, con centro en $M$, traza un arco hasta la prolongación de la base.
Un irracional entre dos racionales
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
Explica los pasos para representar de forma exacta el número irracional $\sqrt{13}$ en la recta real utilizando el teorema de Pitágoras.
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por…
En el diseño de la fachada de un edificio, se utiliza la proporción áurea $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Basándote en la figura adjunta, justifica analíticamente por qué la construcción mostrada determina exactamente el valor de $\phi$ en la recta real.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Demuestra, encontrando un ejemplo explícito, que entre los números racionales $\frac{10}{7}$ y $\frac{143}{100}$ existe al menos un número irracional.
Vuelve al principio: el sensor que marca $25.0^\circ\text{C}$ con incertidumbre de $0.2^\circ\text{C}$ describe todos sus valores posibles con el entorno $E(25, 0.2)$, con la desigualdad $|T - 25| < 0.2$ o con el intervalo $(24.8, 25.2)$.