Interpretación física de la derivada
Vas en un camión por la carretera federal de Puebla a la CDMX. El velocímetro no marca la velocidad promedio de todo el viaje: marca la velocidad justo en ese instante. Esa idea es la que Newton quiso medir, y por eso inventó la derivada. ¿Cómo se calcula ese número «de un instante»?
Velocidad instantánea: la derivada de la posición
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4.9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4.9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe su velocidad $v(t)$ y su aceleración $a(t)$.
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el…
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el instante $t = 2$ s.
Aceleración: la derivada de la velocidad
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
Un auto de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula su aceleración en el instante $t = 3$ s.
Un auto de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calcula su aceleración en el instante $t = 3$ s.
El signo de $v(t)$ y $a(t)$: sentido del movimiento
Distancia total recorrida
Si un objeto cambia de sentido, la distancia que recorre no es $s(b)-s(a)$. Esa diferencia es el desplazamiento: los tramos de ida y de regreso se restan. Para la distancia total:
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Calcula $v(t)$ y resuelve $v(t)=0$ para hallar dónde cambia de sentido dentro del intervalo.
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Divide el intervalo en tramos con esos instantes. En cada tramo $v$ no cambia de signo.
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En cada tramo calcula el valor absoluto de la diferencia de posiciones y suma todos.
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4.9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4.9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y calcula el valor exacto de dicha altura.
Un vehículo frena bruscamente y la distancia recorrida en metros desde que se pisan los frenos es $d(t) = 24t - 3t^2$. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo en detenerse por…
Un vehículo frena bruscamente y la distancia recorrida en metros desde que se pisan los frenos es $d(t) = 24t - 3t^2$. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo en detenerse por completo? ¿Qué distancia total recorrió durante la frenada?
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha (…
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha ($v(t) > 0$) y en los que retrocede hacia la izquierda ($v(t) < 0$).
Un robot de exploración se mueve a lo largo de un riel recto. Su posición en metros durante los primeros $5$ segundos viene dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$.…
Un robot de exploración se mueve a lo largo de un riel recto. Su posición en metros durante los primeros $5$ segundos viene dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calcula la distancia total real que ha recorrido el robot en el intervalo $t \in [0, 5]$. Ten en cuenta que la distancia total no es simplemente $x(5) - x(0)$, sino que debes analizar los cambios de sentido del movimiento utilizando la velocidad.
Herramientas de derivación para otros movimientos
No todos los movimientos son polinomios. Un resorte oscila con senos, un condensador se carga con exponenciales y el radio de una mancha de aceite crece como un cociente. Necesitas estas reglas, que verás con más detalle en el apartado de reglas de derivación.
La posición de un oscilador armónico acoplado a un muelle es $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetros. Calcula su velocidad y su aceleración en función del tiempo. Demuestra…
La posición de un oscilador armónico acoplado a un muelle es $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetros. Calcula su velocidad y su aceleración en función del tiempo. Demuestra que la aceleración es proporcional a la posición, es decir, $a(t) = k \times x(t)$, y encuentra el valor de la constante $k$.
Un depósito cónico se vacía de manera que el volumen de agua en su interior es $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos.…
Un depósito cónico se vacía de manera que el volumen de agua en su interior es $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos. Calcula el caudal de salida de agua (tasa de variación instantánea del volumen) en el instante $t = 10$ minutos.
Una mancha de aceite en el mar tiene forma circular y su radio en metros crece según la función $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la…
Una mancha de aceite en el mar tiene forma circular y su radio en metros crece según la función $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la velocidad a la que crece el radio en el instante $t = 3$ horas. ¿Crece más rápido al principio o al cabo de unas horas? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de aceleración o analizando la derivada.
La carga en un condensador de un circuito eléctrico varía con el tiempo según la expresión $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, donde $q_0$, $R$ y $C$ son constantes…
La carga en un condensador de un circuito eléctrico varía con el tiempo según la expresión $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, donde $q_0$, $R$ y $C$ son constantes positivas. La intensidad de corriente es $i(t) = q'(t)$. Demuestra que la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo y calcula el valor límite de la carga y de la intensidad cuando $t \to +\infty$.
Otras razones de cambio instantáneas
La derivada no es solo velocidad: describe el ritmo instantáneo de cambio de cualquier magnitud respecto de otra. Cambian las unidades y el contexto, pero el cálculo es el mismo.
El volumen de agua en un depósito cambia según la función $V(t) = 50 + 4t - t^3$, donde $V$ está en litros y $t$ en minutos. Halla la tasa de variación instantánea del…
El volumen de agua en un depósito cambia según la función $V(t) = 50 + 4t - t^3$, donde $V$ está en litros y $t$ en minutos. Halla la tasa de variación instantánea del volumen en el instante $t = 1$ e indica si el depósito se está llenando o vaciando en ese momento.
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de…
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de la carga respecto al tiempo, calcula la intensidad en $t = 4$ s.
El costo de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 30\,000 + 200x - 1x^2$ pesos. El costo marginal se define como la derivada del costo…
El costo de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 30\,000 + 200x - 1x^2$ pesos. El costo marginal se define como la derivada del costo respecto al número de unidades. Calcula el costo marginal para $x = 50$ unidades y explica qué representa este valor en el contexto de la fábrica.
Velocidad media frente a velocidad instantánea
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0.5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la…
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0.5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la velocidad de enfriamiento (tasa de variación instantánea de la temperatura) en $t = 5$ min y en $t = 15$ min. Interpreta el significado físico de los signos obtenidos.
Problemas más completos
En los problemas difíciles se combinan ideas: igualar velocidades, usar condiciones iniciales, hallar el máximo de la aceleración, verificar una ecuación con una exponencial o pedir que una función definida por partes tenga velocidad continua.
¿Cuándo es máxima la aceleración?
La aceleración también es una función de $t$, así que se optimiza como cualquier otra: se deriva $a(t)$, se iguala $a'(t)=0$ y se comprueba que sea un máximo (la derivada pasa de positiva a negativa, o $a''<0$).
Ley de enfriamiento de Newton y el logaritmo natural
A veces, en cambio, se pide cuándo se alcanza cierta temperatura, y entonces $t$ queda dentro de un exponente. Para sacarlo se usa el logaritmo natural $\ln$, que es la función inversa de $e^{x}$:
$$e^{u}=c \iff u=\ln c \qquad\text{y}\qquad \ln\left(e^{u}\right)=u$$Dos autos de carreras, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas. Sus posiciones respecto a la línea de salida están dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y…
Dos autos de carreras, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas. Sus posiciones respecto a la línea de salida están dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Determina en qué instantes $t$ ambos autos circulan a la misma velocidad. Para esos instantes, calcula y compara la aceleración de cada auto.
Un proyectil se lanza verticalmente desde una plataforma. Su altura en metros viene dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que la plataforma está a $15$ m del suelo,…
Un proyectil se lanza verticalmente desde una plataforma. Su altura en metros viene dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que la plataforma está a $15$ m del suelo, que la velocidad inicial de lanzamiento es de $20$ m/s hacia arriba, y que la aceleración debida a la gravedad es constante e igual a $-9.8$ m/s$^2$. Utilizando la relación entre posición, velocidad y aceleración mediante derivadas, halla los valores de $a$, $b$ y $c$. A continuación, calcula la altura máxima alcanzada.
La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta es $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instante de…
La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta es $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instante de tiempo $t \geq 0$ la aceleración es máxima y calcula dicho valor máximo.
La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del…
La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente $T_a$, es decir, $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Verifica que la función $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ cumple esta ecuación diferencial. Si $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C y la velocidad de enfriamiento en el instante inicial $t=0$ es de $-4^\circ$C/min, calcula el valor de $k$.
La potencia consumida por un dispositivo electrónico depende del voltaje aplicado según la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milivatios. La tasa de variación de la…
La potencia consumida por un dispositivo electrónico depende del voltaje aplicado según la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milivatios. La tasa de variación de la potencia respecto al voltaje se denomina conductancia dinámica $G(v) = P'(v)$. Determina para qué valores de voltaje $v$ la conductancia dinámica es exactamente $1$ milivatio/voltio.
Un globo meteorológico asciende verticalmente. Su altura en metros se modela mediante una función definida a trozos:…
Un globo meteorológico asciende verticalmente. Su altura en metros se modela mediante una función definida a trozos:
$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la posición y la velocidad del globo sean continuas en el instante $t = 10$. Una vez hallados, calcula la aceleración del globo para $t > 10$ y discute qué ocurre con la velocidad a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).
Vuelve al principio: el velocímetro marca $s'(t)$, el límite de las velocidades medias en intervalos cada vez más cortos.