Problemas de límites y continuidad
Un café recién servido en la cafetería de la prepa se enfría, pero no se hace hielo: se queda cerca de la temperatura del salón. ¿Cómo sabes a cuántos grados se estabiliza sin esperar toda la tarde? Con un límite. En este apartado usas límites y continuidad para predecir, detectar saltos y calcular velocidades en situaciones reales. Al final vuelves al café con una pregunta más.
Límites que predicen un valor de equilibrio
Muchos fenómenos (enfriamiento, poblaciones, costos por unidad) se acercan a un valor estable a largo plazo. Ese valor es el límite cuando la variable tiende a infinito.
Dos herramientas bastan casi siempre:
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Si $k>0$, entonces $e^{-kt}\to 0$ cuando $t\to+\infty$.
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En un cociente de polinomios, mandan los términos de mayor grado. Si el grado es igual arriba y abajo, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcula el…
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcula el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el significado físico de este resultado.
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo…
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?
El costo promedio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $C_m(x) = \frac{60\,000 + 100x}{x}$ pesos. Calcula el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$…
El costo promedio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $C_m(x) = \frac{60\,000 + 100x}{x}$ pesos. Calcula el límite de $C_m(x)$ cuando $x \to \infty$ y explica su significado económico en términos de costos de producción.
Fármacos, epidemias y oscilaciones
Con la misma idea se estudian modelos de biología y física. Hay que fijarse en el grado del numerador y del denominador:
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Grado del numerador menor que el del denominador: el límite es $0$.
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Grado igual: el límite es el cociente de coeficientes principales.
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Grado mayor: el valor crece sin límite.
Un modelo logístico (de propagación) tiene la forma $N(t)=\dfrac{L}{1+Ae^{-kt}}$. En $t=0$ vale $\frac{L}{1+A}$. Cuando $t\to\infty$, $e^{-kt}\to0$ y $N\to L$: ese tope es la capacidad máxima del sistema, por ejemplo toda la población susceptible.
Las oscilaciones amortiguadas usan el límite notable $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$. Para $\dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{t}$ multiplica y divide entre $2$: queda $2\cdot\dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{2t}\to2\cdot1=2$ cuando $t\to0$.
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de $C(t)$…
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcula el límite de $C(t)$ cuando $t \to \infty$ y razona qué le ocurre al fármaco en el organismo con el paso del tiempo.
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días…
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días transcurridos desde el inicio del brote. Calcula el número de infectados en el instante inicial ($t=0$) y el límite cuando $t \to \infty$. ¿Qué representa este límite en el contexto epidemiológico?
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$.…
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$. Calcula el límite de la amplitud cuando $t \to 0^+$ (recuerda que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) y cuando $t \to \infty$. Interpreta el comportamiento del péndulo tanto en el instante inicial como a largo plazo.
Cuando el denominador se anula
Si $x\to a$ y el denominador tiende a $0$, hay tres casos:
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Si el numerador no tiende a $0$, el valor crece sin límite (asíntota vertical).
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Si el numerador también tiende a $0$, es $\frac00$ y hay que simplificar antes (siguiente sección).
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Si no hay división problemática (como una expresión polinomial), solo se sustituye.
La demanda $D(p)=\dfrac{p^2-100}{p-10}$ del ejercicio siguiente es de este segundo tipo: se vuelve $\frac00$ en $p=10$.
Un depósito de agua de $100$ litros se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$…
Un depósito de agua de $100$ litros se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$ está en minutos ($0 \le t \le 60$). Calcula el límite de $V(t)$ cuando $t \to 60^-$ e interpreta el resultado.
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es…
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de $E_c$ cuando $v \to c^-$. ¿Qué implicación física tiene este resultado respecto a la posibilidad de que una partícula masiva alcance la velocidad de la luz?
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en pesos y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para…
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en pesos y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para $p \neq 10$. Calcula analíticamente el límite de la demanda cuando el precio $p$ se acerca a $10$ pesos. ¿Por qué crees que el modelo matemático presenta una discontinuidad (un "hueco") exactamente en $p=10$?
La indeterminación 0/0 y la velocidad instantánea
Si al sustituir queda $\frac00$, se factoriza y se simplifica el factor que se anula, y luego se sustituye. Ese factor es distinto de cero mientras $x\neq a$, y el límite solo mira lo que pasa cerca de $a$.
Un caso importante es la velocidad. La velocidad media (variación promedio de la distancia) entre $t=2$ y $t=2+h$ es $\dfrac{e(2+h)-e(2)}{h}$, la pendiente de la secante. Al hacer $h\to0$ queda $\frac00$ y el límite da la velocidad instantánea. Es la primera idea de derivada.
También se usa con valor absoluto: se separa según el signo y se calculan los límites laterales. Si no coinciden, el límite no existe y la función no se puede arreglar con un solo valor.
La distancia recorrida por un móvil en metros está dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante…
La distancia recorrida por un móvil en metros está dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcula el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Celsius) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos…
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Celsius) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos a $T = 3$ (una temperatura crítica en un ensayo de laboratorio). Calcula el límite de la eficiencia cuando $T \to 3$ para determinar el valor teórico continuo en ese punto.
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en…
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en metros y $t$ el tiempo en segundos. Para evitar un fallo en el software, el ingeniero debe asignar un valor a $h(3)$. Estudia los límites laterales en $t=3$. ¿Es posible definir $h(3)$ para que la función sea continua? Explica las consecuencias físicas de este comportamiento.
Continuidad en tarifas y modelos definidos por partes
Las tarifas de celular, los salarios con comisión y los impuestos suelen definirse por partes. Una función es continua en $x=a$ si
$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).$$En una tarifa, la continuidad significa que no hay un salto brusco en el cobro.
Cuando el modelo tiene un parámetro, se iguala el límite izquierdo con el derecho y se despeja.
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en pesos), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:…
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en pesos), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 300 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 300 + 40(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudia la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indica si hay algún salto brusco en la tarifa.
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de…
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halla el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:…
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Halla los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.
Hallar parámetros con límites y continuidad
Aquí cada condición del problema se traduce en una ecuación. Se resuelve el sistema.
Otro tipo de condición es sobre asíntotas y hoyos. Si en $x=r$ hay un hoyo (discontinuidad evitable), el factor $(x-r)$ debe estar también en el numerador. Si en $x=s$ hay asíntota vertical, el numerador no debe anularse ahí.
Con límites en el infinito también se plantean ecuaciones. Si $I(t)=\dfrac{at^2+bt+c}{t^2+1}$, entonces $\displaystyle\lim_{t\to\infty}I(t)=a$ y $I(0)=c$.
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus utilidades $x$ (en cientos de miles de pesos) se rige por la siguiente ley:…
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus utilidades $x$ (en cientos de miles de pesos) se rige por la siguiente ley:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el…
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Se sabe que a muy largo plazo el número de infectados se estabiliza en $50$ mil, que en el instante inicial $t=0$ había $10$ mil infectados, y que el límite de la función cuando $t \to 1$ es $35$. Halla los parámetros $a, b, c$.
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de pesos. Se sabe que la función tiene una…
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de pesos. Se sabe que la función tiene una asíntota vertical en $p = 1$ pero NO tiene asíntota vertical en $p = 3$ (la discontinuidad en $p=3$ es evitable). Sabiendo que el límite de la demanda cuando $p \to 3$ es $2$, encuentra los parámetros $a$ y $b$.
La indeterminación ∞ − ∞ y la resta de expresiones grandes
Cuando dos expresiones que crecen sin límite se restan, el resultado no es obvio. Hay dos técnicas:
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Con raíces: multiplica y divide por el conjugado, para que aparezca una diferencia de cuadrados.
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Con fracciones: haz la división de polinomios (o resta las fracciones) para separar la parte que crece de la que se estabiliza.
Fíjate en el orden: aquí restamos el segundo costo menos el primero, por eso sale $2$. En el ejercicio la resta es $C_1-C_2$, o sea, el signo contrario.
También la geometría produce estos límites. Por ejemplo, la recta por $A(0,1)$ y $P(x,x^2)$ tiene pendiente $m=\dfrac{x^2-1}{x}$. Su ecuación es $y=1+mX$ y corta al eje de las abscisas cuando $0=1+mX$, es decir $X=-\dfrac1m=\dfrac{x}{1-x^2}$. Entonces $Q=\left(\dfrac{x}{1-x^2},0\right)$ y el límite cuando $x\to\infty$ se saca comparando grados (arriba $1$, abajo $2$). En la figura, $P(2, 4)$ y $Q\left(-\frac23, 0\right)$.
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología está dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos:…
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología está dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcula el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
El costo de mantenimiento de dos servidores a largo plazo está dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde…
El costo de mantenimiento de dos servidores a largo plazo está dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde $x$ son los meses de uso continuo. Se quiere saber si la diferencia de costo entre ambos servidores se estabiliza con el tiempo. Calcula $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta…
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta recta interseca al eje de abscisas en un punto $Q$. Calcula las coordenadas del punto $Q$ en función de $x$ y halla el límite de la posición de $Q$ cuando el punto $P$ se aleja hacia el infinito ($x \to \infty$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Interés continuo y la indeterminación $1^\infty$
Si capitalizas el interés $n$ veces al año, el monto crece como $C_0\left(1+\frac rn\right)^{nt}$. Al hacer $n\to\infty$ la base tiende a $1$ y el exponente a $\infty$: es del tipo $1^\infty$. Se resuelve con el límite que define a $e$:
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e.$$Con el cambio $m=\frac nr$ se obtiene $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac rn\right)^{nt}=e^{rt}$.
Para otra base cualquiera, si $f\to1$ y $g\to\infty$, se usa $\displaystyle\lim f^g=e^{\lim g\,(f-1)}$.
Con esto, un depósito de $\$100{,}000$ al $4\%$ anual con capitalización continua vale $C(t)=100000\,e^{0.04t}$. Un cultivo de bacterias con $B(t)=50\left(\frac{t^2+3t+1}{t^2+t+5}\right)^{2t}$ se resuelve igual: la base es $1+\frac{2t-4}{t^2+t+5}$ y el exponente es $2t$.
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelar mediante el límite…
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de periodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $C_0 = 100\,000$ pesos y la tasa anual es $r = 0.04$, calcula el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determina el saldo al cabo de $t = 10$ años.
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función…
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$, calcula el límite de la biomasa cuando $t \to \infty$.
Teorema del valor intermedio (Bolzano): demostrar que existe un equilibrio
Cuando un modelo mezcla crecimientos distintos (exponencial y polinomial, por ejemplo) no se puede resolver la ecuación con álgebra. Pero se puede demostrar que existe una solución.
La idea es sencilla: una gráfica continua que pasa de abajo del eje a arriba del eje tiene que cruzarlo.
Vuelve al principio: el café tiende a $22\,^\circ\text{C}$, y lo supiste con un límite sin esperar. Un modelo como $T(t)=22+65e^{-0.05t}$ nunca llega exactamente a esa temperatura, pero se acerca todo lo que quieras.
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de pesos) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es…
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de pesos) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en pesos ($x \ge 0$). Demuestra, justificando tu respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.