Estadística básica
Ximena estudió 10 horas para el examen y sacó 9. Diego estudió 2 horas y sacó 6. Con solo dos alumnos no se puede concluir nada, pero con todo el grupo sí: ¿estudiar más horas sube la calificación, y qué tan fuerte es esa relación? Para contestar necesitas medir dos variables a la vez. Antes hay que dominar con rigor las herramientas de una sola variable, porque son las piezas de todo lo que viene después.
Media, varianza y desviación estándar
La media minimiza el error cuadrático
Para cualquier constante $c$ se cumple, al sumar y restar $\bar x$ dentro del cuadrado:
$$\sum (x_i-c)^2=\sum (x_i-\bar x)^2+n(\bar x-c)^2$$El término cruzado desaparece porque $\sum(x_i-\bar x)=0$. El segundo sumando nunca es negativo y vale cero solo cuando $c=\bar x$. Por eso $f(c)=\sum (x_i-c)^2$ alcanza su mínimo en $c=\bar x$.
Con derivadas llegas a lo mismo: $f'(c)=-2\sum(x_i-c)=0$ da $c=\bar x$, y $f''(c)=2n>0$ confirma que es un mínimo. Más adelante, la recta de regresión se define también «minimizando errores al cuadrado».
Un ingeniero agrónomo está calibrando un sensor de humedad del suelo. Las últimas 5 lecturas, en porcentajes, son: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcula la media aritmética y la…
Un ingeniero agrónomo está calibrando un sensor de humedad del suelo. Las últimas 5 lecturas, en porcentajes, son: $22, 24, 23, 25, 21$. Calcula la media aritmética y la desviación típica poblacional de estas mediciones.
Un equipo de ciclistas ha registrado las distancias recorridas en sus últimos 4 entrenamientos: $45, 50, x, 60$ kilómetros. Sabiendo que la distancia media de los 4…
Un equipo de ciclistas ha registrado las distancias recorridas en sus últimos 4 entrenamientos: $45, 50, x, 60$ kilómetros. Sabiendo que la distancia media de los 4 entrenamientos es exactamente de $52.5$ km, determina primero el valor del entrenamiento que falta ($x$) y, a continuación, calcula la desviación típica poblacional de los 4 entrenamientos.
Dado un conjunto de datos unidimensional $x_1, x_2, \dots, x_n$, se define la función de error cuadrático $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, que mide la suma de las…
Dado un conjunto de datos unidimensional $x_1, x_2, \dots, x_n$, se define la función de error cuadrático $f(c) = \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2$, que mide la suma de las distancias al cuadrado desde cada dato hasta un valor constante $c$. Demuestra analíticamente (utilizando derivadas o completando cuadrados) que el valor de $c$ que minimiza esta función es exactamente la media aritmética $\bar{x}$.
Combinar muestras y corregir datos
A veces no tienes los datos individuales, solo medias y varianzas. De la fórmula de la varianza sale que el promedio de los cuadrados es $\sigma^2+\bar x^2$. Con esa cantidad se puede reconstruir casi todo.
Un analista de control de calidad observa los errores de fabricación de 10 lotes de producción. La media de errores es $6.5$ y la varianza es $2.25$. Posteriormente, en…
Un analista de control de calidad observa los errores de fabricación de 10 lotes de producción. La media de errores es $6.5$ y la varianza es $2.25$. Posteriormente, en una auditoría, se da cuenta de que un error tipográfico registró $2$ errores en lugar de $8$ para uno de los lotes. Calcula la nueva media y la nueva varianza corregidas sin necesidad de conocer los datos individuales de los otros 9 lotes.
Se han realizado dos estudios epidemiológicos independientes sobre el índice de masa corporal (IMC) en una región. El primer estudio, con una muestra de $40$ personas,…
Se han realizado dos estudios epidemiológicos independientes sobre el índice de masa corporal (IMC) en una región. El primer estudio, con una muestra de $40$ personas, obtuvo una media de $22$ y una varianza de $4$. El segundo estudio, con una muestra de $60$ personas, obtuvo una media de $25$ y una varianza de $5$. Si se combinan ambos estudios en una sola muestra agregada de $100$ personas, calcula la media y la varianza de esta muestra conjunta.
Coeficiente de variación
¿Es más «irregular» un pez de $150$ cm con $\sigma=12$ cm o uno de $40$ cm con $\sigma=4$ cm? La desviación estándar sola no sirve para comparar, porque depende de las unidades y del tamaño de los datos.
Un biólogo marino compara la longitud de dos especies de peces. La especie Alpha tiene una longitud media de $40$ cm con una desviación típica de $4$ cm. La especie Beta…
Un biólogo marino compara la longitud de dos especies de peces. La especie Alpha tiene una longitud media de $40$ cm con una desviación típica de $4$ cm. La especie Beta tiene una longitud media de $150$ cm con una desviación típica de $12$ cm. Calcula el coeficiente de variación para ambas especies e indica cuál presenta mayor dispersión relativa.
Dos fábricas de componentes aeronáuticos producen piezas cuyo tiempo de vida útil es una variable estadística. La fábrica Alpha produce componentes con una vida útil…
Dos fábricas de componentes aeronáuticos producen piezas cuyo tiempo de vida útil es una variable estadística. La fábrica Alpha produce componentes con una vida útil media de $1200$ horas y una varianza de $14400$ horas$^2$. La fábrica Beta produce componentes con una vida útil media de $800$ horas y una varianza de $10000$ horas$^2$. Justifica, calculando una medida de dispersión relativa adecuada, qué fábrica tiene una producción más homogénea.
Posición y datos agrupados
Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales. $Q_1$ deja por debajo el $25\%$, la mediana el $50\%$ y $Q_3$ el $75\%$. La moda es el valor con mayor frecuencia.
Si $n$ es impar, la mediana no entra en ninguna de las dos mitades al calcular $Q_1$ y $Q_3$.
Datos agrupados en intervalos
Cuando los datos vienen en intervalos $[a,b)$, cada intervalo se representa con su marca de clase $\frac{a+b}{2}$. Se usa el punto medio porque, al desconocer los datos exactos, los errores por exceso y por defecto tienden a compensarse.
Las puntuaciones obtenidas por los 9 miembros de un equipo de gimnasia rítmica en una prueba de flexibilidad son: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la…
Las puntuaciones obtenidas por los 9 miembros de un equipo de gimnasia rítmica en una prueba de flexibilidad son: $16, 17, 16, 18, 16, 17, 19, 16, 17$. Determina la moda, la mediana y el primer cuartil ($Q_1$) de este conjunto de datos.
En una estación meteorológica se ha agrupado la velocidad máxima diaria del viento ($X$, en km/h) en los siguientes intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$,…
En una estación meteorológica se ha agrupado la velocidad máxima diaria del viento ($X$, en km/h) en los siguientes intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$, con frecuencias absolutas $5, 12, 8, 5$ respectivamente. Utilizando las marcas de clase de cada intervalo, calcula la media aritmética y la varianza de la velocidad del viento.
Tablas de doble entrada
Cuando mides $X$ e $Y$ en los mismos individuos, cada individuo da un par $(x_i,y_j)$. La tabla de doble entrada pone los valores de $X$ en las filas, los de $Y$ en las columnas y en cada celda la frecuencia conjunta $n_{ij}$: cuántas veces aparece esa pareja.
En una maternidad se ha medido el peso en kg ($X$) y la longitud en cm ($Y$) de 6 recién nacidos, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(3.2; 50)$,…
En una maternidad se ha medido el peso en kg ($X$) y la longitud en cm ($Y$) de 6 recién nacidos, obteniendo los siguientes pares de valores $(x_i, y_i)$: $(3.2; 50)$, $(3.5; 52)$, $(3.2; 51)$, $(3.8; 52)$, $(3.5; 50)$ y $(3.2; 50)$. Construye la tabla de doble entrada (frecuencias absolutas conjuntas) para estas dos variables.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un estudio sociológico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a 50 personas sobre su sexo ($X$: $1$ para Hombre, $2$ para Mujer) y si leen más de un libro al mes…
En un estudio sociológico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a 50 personas sobre su sexo ($X$: $1$ para Hombre, $2$ para Mujer) y si leen más de un libro al mes ($Y$: $1$ para Sí, $2$ para No). La tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$ es la siguiente: $n_{11} = 10$, $n_{12} = 15$, $n_{21} = 20$, $n_{22} = 5$. Construye la tabla de distribución marginal de la variable $Y$ y calcula sus frecuencias relativas.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Distribuciones marginales y condicionadas
A partir de una tabla de frecuencias conjuntas de dos variables $X$ (número de hermanos) e $Y$ (número de mascotas domésticas), se sabe que la frecuencia marginal…
A partir de una tabla de frecuencias conjuntas de dos variables $X$ (número de hermanos) e $Y$ (número de mascotas domésticas), se sabe que la frecuencia marginal absoluta de $X=1$ es $n_{1\bullet} = 40$. De esas 40 personas, 15 tienen $Y=0$ mascotas, 20 tienen $Y=1$ mascota y 5 tienen $Y=2$ mascotas. Calcula la distribución de frecuencias relativas de la variable $Y$ condicionada a $X=1$.
Una clínica veterinaria clasifica a los perros atendidos en un mes según su tamaño ($X$: $1$ = Pequeño, $2$ = Mediano, $3$ = Grande) y el número de visitas al…
Una clínica veterinaria clasifica a los perros atendidos en un mes según su tamaño ($X$: $1$ = Pequeño, $2$ = Mediano, $3$ = Grande) y el número de visitas al veterinario en el último año ($Y$: $1, 2, 3$). La tabla de frecuencias conjuntas $n_{ij}$ es:
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Para $X=1$: $n_{11}=12$, $n_{12}=8$, $n_{13}=5$
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Para $X=2$: $n_{21}=10$, $n_{22}=15$, $n_{23}=10$
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Para $X=3$: $n_{31}=4$, $n_{32}=6$, $n_{33}=10$
Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución marginal del número de visitas ($Y$).
En un estudio de agronomía, se analiza la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$). Se dispone de la…
En un estudio de agronomía, se analiza la cantidad de fertilizante aplicado en kg/ha ($X$) y el rendimiento de la cosecha en toneladas/ha ($Y$). Se dispone de la siguiente tabla de doble entrada para las frecuencias conjuntas $n_{ij}$:
| $X$ \ $Y$ | $2$ | $4$ | $6$ |
|---|---|---|---|
| 10 | $1$ | $2$ | $0$ |
| 20 | $0$ | $3$ | $1$ |
| 30 | $0$ | $1$ | $2$ |
Calcula la media y la desviación típica del rendimiento de la cosecha condicionada a que se hayan aplicado $20$ kg/ha de fertilizante (es decir, de la distribución $Y | X=20$).
Independencia estadística
Se analizan dos variables cualitativas en una muestra de $200$ turistas: continente de origen ($X$: Europeo, Americano, Asiático) y tipo de alojamiento ($Y$: Hotel,…
Se analizan dos variables cualitativas en una muestra de $200$ turistas: continente de origen ($X$: Europeo, Americano, Asiático) y tipo de alojamiento ($Y$: Hotel, Apartamento). Las frecuencias relativas marginales son: Europeos $50\%$, Americanos $30\%$, Asiáticos $20\%$. Para el alojamiento: Hotel $60\%$, Apartamento $40\%$. Si se asume que ambas variables son estadísticamente independientes, ¿cuántos turistas de la muestra se espera que sean americanos y se alojen en un apartamento simultáneamente?
En una investigación sobre la relación entre el número de horas semanales dedicadas al deporte ($X$) y el nivel de estrés laboral ($Y$), se obtiene la siguiente tabla de…
En una investigación sobre la relación entre el número de horas semanales dedicadas al deporte ($X$) y el nivel de estrés laboral ($Y$), se obtiene la siguiente tabla de frecuencias absolutas conjuntas, donde $k$ es un valor desconocido:
| $X$ \ $Y$ | $2$ | $5$ | $8$ |
|---|---|---|---|
| 0 | $1$ | $2$ | $3$ |
| 3 | $2$ | $4$ | $k$ |
| 6 | $1$ | $2$ | $3$ |
Determina matemáticamente el valor de $k$ para que las variables $X$ e $Y$ sean estrictamente independientes desde el punto de vista estadístico.
Diagrama de dispersión
Para dos variables numéricas, cada pareja $(x_i,y_i)$ se dibuja como un punto en el plano cartesiano. La nube de puntos muestra si hay relación y de qué tipo.
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Directa (positiva): al crecer $X$, tiende a crecer $Y$.
-
Inversa (negativa): al crecer $X$, tiende a decrecer $Y$.
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Fuerte: los puntos se pegan a una recta. Débil: la nube es ancha y dispersa.
Para calcular medias a partir de la gráfica, lee las coordenadas exactas de cada punto (en las intersecciones de la cuadrícula) y arma la tabla.
La paradoja de Simpson
A veces una tendencia que aparece en todos los subgrupos se invierte al juntar los datos. Mira dos departamentos: dentro de cada uno, más experiencia se asocia con menor ingreso; pero el departamento B tiene en promedio más experiencia y mejores ingresos que el A.
Con todos los puntos juntos, la correlación global sería positiva (línea punteada); por separado, la de cada departamento es negativa. La causa es una tercera variable oculta, el departamento. Por eso conviene mirar siempre la gráfica antes de concluir.
Observa el siguiente diagrama de dispersión que relaciona las horas de entrenamiento semanales ($X$) y el tiempo en segundos en una prueba de 100 metros lisos ($Y$) de…
Observa el siguiente diagrama de dispersión que relaciona las horas de entrenamiento semanales ($X$) y el tiempo en segundos en una prueba de 100 metros lisos ($Y$) de un grupo de atletas. Indica si la correlación entre ambas variables es directa (positiva) o inversa (negativa), y razona visualmente si la dependencia lineal parece fuerte o débil.
El siguiente diagrama de dispersión representa el precio en miles de pesos ($Y$) frente a la antigüedad en años ($X$) de un modelo específico de camioneta usada. A…
El siguiente diagrama de dispersión representa el precio en miles de pesos ($Y$) frente a la antigüedad en años ($X$) de un modelo específico de camioneta usada. A partir de los puntos mostrados exactamente sobre las intersecciones de la cuadrícula en la gráfica, construye la tabla de datos bidimensional y calcula la media marginal de la antigüedad $\bar{x}$ y la media marginal del precio $\bar{y}$.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia ($X$) y los ingresos anuales en miles de pesos ($Y$) de un grupo de profesionales,…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre los años de experiencia ($X$) y los ingresos anuales en miles de pesos ($Y$) de un grupo de profesionales, divididos en dos departamentos distintos (Departamento A en azul y Departamento B en verde). Explica el concepto de la paradoja de Simpson basándote en lo que observarías si calcularas la correlación global de todos los puntos juntos, frente a las correlaciones locales de cada departamento por separado.
Covarianza
La covarianza mide si $X$ e $Y$ se mueven juntas. Es el promedio de los productos de las desviaciones respecto a las medias:
Reconstruir una tabla con la covarianza
El departamento de recursos humanos de una empresa de ingeniería ha recopilado datos sobre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual en miles de pesos ($Y$) de…
El departamento de recursos humanos de una empresa de ingeniería ha recopilado datos sobre los años de experiencia ($X$) y el salario mensual en miles de pesos ($Y$) de sus empleados. Sabiendo que la media de experiencia es $\bar{x} = 5$ años, el salario medio es $\bar{y} = 2.5$ miles de pesos, el tamaño de la muestra es $N = 20$ y la suma de los productos cruzados es $\sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 280$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la fuerza aplicada a un muelle en Newtons ($X$) y su longitud en centímetros ($Y$). Sabiendo que los pares…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre la fuerza aplicada a un muelle en Newtons ($X$) y su longitud en centímetros ($Y$). Sabiendo que los pares de valores exactos son $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$ y $(4, 9)$, calcula la covarianza $\sigma_{xy}$ y comprueba analíticamente si existe una relación funcional exacta entre ambas variables.
Se dispone de una tabla bidimensional de dos variables $X$ e $Y$ que toman los valores $X \in \{1, 2\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Se conocen los siguientes datos estadísticos…
Se dispone de una tabla bidimensional de dos variables $X$ e $Y$ que toman los valores $X \in \{1, 2\}$ e $Y \in \{0, 1\}$. Se conocen los siguientes datos estadísticos globales: el tamaño de la muestra es $N=100$, la media marginal de $X$ es $\bar{x} = 1.4$, la media marginal de $Y$ es $\bar{y} = 0.6$, y la covarianza es $\sigma_{xy} = 0.06$. Utilizando las definiciones de estos parámetros, reconstruye completamente la tabla de frecuencias absolutas conjuntas $n_{ij}$.
Propiedades de la covarianza y de la suma
Cambios de escala y de origen
Si $U=aX+b$ y $V=cY+d$, entonces $u_i-\bar u=a(x_i-\bar x)$ y $v_i-\bar v=c(y_i-\bar y)$. Al multiplicar y promediar:
$$\sigma_{uv}=ac\,\sigma_{xy}$$Sumar constantes ($b$ y $d$) no cambia la covarianza: solo desplaza la nube. Multiplicar por $a$ y $c$ la reescala. Si $a$ y $c$ tienen signos opuestos, la covarianza cambia de signo.
Media y varianza de una suma
$$\bar z=\bar x+\bar y\qquad \text{Var}(X+Y)=\sigma_x^2+\sigma_y^2+2\sigma_{xy}$$Esto sale de desarrollar $(x_i-\bar x+y_i-\bar y)^2$. Si $\sigma_{xy}=0$, las varianzas simplemente se suman.
Vuelve al principio: para saber si estudiar más sube la calificación, mide horas ($X$) y calificación ($Y$), dibuja la nube y calcula $\sigma_{xy}$. Si es positiva y la nube se pega a una recta, estudiar más va de la mano con mejores calificaciones. Con el coeficiente de correlación del siguiente apartado podrás decir qué tan fuerte es esa relación.
Sean $X$ e $Y$ dos variables estadísticas bidimensionales con medias $\bar{x}, \bar{y}$, desviaciones típicas $\sigma_x, \sigma_y$ y covarianza $\sigma_{xy}$. Si se…
Sean $X$ e $Y$ dos variables estadísticas bidimensionales con medias $\bar{x}, \bar{y}$, desviaciones típicas $\sigma_x, \sigma_y$ y covarianza $\sigma_{xy}$. Si se realiza una transformación lineal a ambas variables de la forma $U = 3X - 2$ y $V = -2Y + 5$, demuestra analíticamente cuál será el valor de la nueva covarianza $\sigma_{uv}$ expresada en función de $\sigma_{xy}$.
En una empresa tecnológica, el salario base mensual ($X$, en pesos) tiene una media de $1500$ y una desviación estándar de $200$. Las comisiones por proyectos entregados…
En una empresa tecnológica, el salario base mensual ($X$, en pesos) tiene una media de $1500$ y una desviación estándar de $200$. Las comisiones por proyectos entregados ($Y$, en pesos) tienen una media de $300$ y una desviación estándar de $100$. Sabiendo que la covarianza entre el salario base y las comisiones es $\sigma_{xy} = 15000$, calcula la media y la varianza del salario total mensual $Z = X + Y$.
(Nota: Recuerda la propiedad de la varianza de la suma de dos variables correlacionadas: $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$).