Interpretación gráfica de la derivada

Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$ en el punto de abscisa $x = 3$.

Dadas las funciones polinómicas $f(x) = x^2 - 3x + 2$ y $g(x) = -x^2 + 7x - 6$, halla primero los puntos de intersección de sus gráficas. A continuación, calcula la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de intersección que tenga mayor abscisa.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ en el punto exacto donde dicha gráfica interseca al eje de ordenadas.

Determina en qué punto exacto de la gráfica de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x+4}$ la recta tangente tiene una pendiente igual a $m = \frac{1}{4}$.

El número de suscriptores de un canal de ciencia en una plataforma de video crece según la función exponencial $S(t) = 500 e^{0.2t}$, donde $t$ se mide en semanas. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el instante $t = 5$ y utilízala para estimar de forma lineal el número de suscriptores en $t = 6$.

Determina la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = x^3 - 2x$ en el punto de abscisa $x = -1$.

Un rayo de luz incide sobre un espejo parabólico cuya sección transversal responde a la función $f(x) = \frac{1}{4}x^2$. Si el rayo impacta en el punto de abscisa $x = 2$, halla la ecuación de la recta normal a la superficie en ese punto (la cual es fundamental en óptica geométrica para calcular el ángulo de reflexión).

Calcula el área exacta del triángulo formado por el eje de abscisas, la recta tangente y la recta normal a la curva logarítmica $f(x) = \ln(x)$ en el punto de abscisa $x = e$.

Encuentra las coordenadas de los puntos de la curva $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$ en los que la recta tangente es horizontal.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente trazada en el punto de abscisa $x = 1$. A partir de las coordenadas de los puntos $A$ y $B$ indicados sobre la recta, determina el valor de la derivada $f'(1)$.

Observa la gráfica de la función polinómica $f(x)$. Sin calcular su expresión analítica, determina el signo de la derivada $f'(x)$ en los puntos de abscisa $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$, indicando si en dichos puntos la función es creciente o decreciente.

La figura muestra la gráfica de una función cuadrática $f(x)$. A partir de sus elementos geométricos visibles (vértice y puntos de corte), deduce la expresión analítica de su función derivada $f'(x)$.

La figura muestra la gráfica de la función derivada $f'(x)$ de una cierta función polinómica $f(x)$. A partir de ella, determina analíticamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función original $f(x)$, e indica las abscisas en las que $f(x)$ presenta sus extremos relativos.

La figura representa la gráfica de la función derivada $f'(x)$ (compuesta por dos segmentos rectos) de una función continua $f(x)$. Basándote exclusivamente en esta gráfica, identifica las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ clasificándolos en máximos o mínimos, e indica la abscisa del punto de inflexión de la función original.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

La trayectoria de un dron de inspección en un plano vertical sigue la curva definida por $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Determina en qué puntos de su recorrido la dirección de su movimiento es paralela a la recta de ecuación $y = -3x + 5$.

Determina las coordenadas de los puntos de la curva definida por $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - x + 1$ en los que su recta tangente forma un ángulo exacto de $45^\circ$ con el semieje positivo de abscisas.

Demuestra algebraicamente que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x-1}$ no tiene en todo su dominio ninguna recta tangente que sea paralela a la recta de ecuación $y = 2x$.

Determina para qué conjunto de valores del parámetro $k$ la función racional $f(x) = \frac{x^2 + kx + 1}{x-2}$ carece de rectas tangentes horizontales en cualquier punto de su dominio.

Un arquitecto está diseñando el arco principal de un puente que sigue la forma de una parábola de ecuación $f(x) = ax^2 + bx + c$. Se sabe que el arco pasa por el punto $(0, 5)$ y que en el punto $(2, 9)$ la recta tangente tiene por ecuación $y = 4x + 1$. Calcula los valores exactos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

En el diseño de una carretera de montaña, un tramo recto dado por la ecuación $y = 2x$ (para $x \le 1$) debe unirse suavemente a otro tramo recto de ecuación $y = -x + 6$ (para $x \ge 3$) mediante una curva de transición parabólica $f(x) = ax^2 + bx + c$ definida estrictamente en el intervalo $[1, 3]$. Calcula los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la carretera sea continua y derivable en ambos puntos de conexión ($x=1$ y $x=3$).

Determina los valores exactos de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$ para que la función cúbica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tenga un extremo relativo en el punto $(0, 2)$ y su recta tangente en el punto $(1, 0)$ sea estrictamente paralela a la recta $y = -3x$.

Las gráficas de las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 + ax + b$ y $g(x) = -x^2 + 2x - 1$ son tangentes entre sí en el punto de abscisa $x = 1$ (es decir, comparten el mismo punto y la misma recta tangente en dicho punto). Calcula los valores de $a$ y $b$, y proporciona la ecuación de dicha recta tangente común.

Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + kx$. Determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en su punto de inflexión es paralela a la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

Halla las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el origen de coordenadas $(0,0)$. Nota: ten en cuenta que el origen no pertenece a la curva.