Reglas de derivación
Un video se vuelve viral y sus reproducciones crecen como $e^{t^2}$, donde $t$ es el tiempo en días. ¿A qué ritmo crecen en cada instante? Esa función no es un polinomio: tiene una exponencial con otra función metida adentro. Con límites sería largo, pero con tres reglas (producto, cociente y cadena) se deriva casi cualquier combinación.
Las derivadas básicas
Antes de combinar funciones necesitas las derivadas de las piezas. La de $x^n$ se obtiene con la regla de los cuatro pasos; veamos un caso para recordar cómo funciona.
Para derivar potencias con fracciones o raíces, primero escríbelas como exponentes: $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ y $\sqrt{x}=x^{1/2}$.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\operatorname{sen} x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\operatorname{sen} x$ |
| $\operatorname{arcsen} x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
Calcula la función derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando las reglas básicas de derivación de potencias y la linealidad.
Calcula la función derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando las reglas básicas de derivación de potencias y la linealidad.
Calcula la derivada de la función $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando la regla de derivación para exponenciales de base distinta a $e$ y para funciones…
Calcula la derivada de la función $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando la regla de derivación para exponenciales de base distinta a $e$ y para funciones trigonométricas inversas.
Regla del producto
¿Será que la derivada de un producto es el producto de las derivadas? Probemos con $x^2\cdot x^3=x^5$, cuya derivada es $5x^4$. Si multiplicáramos las derivadas saldría $2x\cdot3x^2=6x^3$, que no coincide. Tampoco sirve con $x\cdot x=x^2$: daría $1\cdot1=1$ y la derivada real es $2x$.
Fíjate en lo que sí funciona: $2x\cdot x^3+x^2\cdot3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$. Cada factor se deriva por turno y el otro se deja igual.
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \times e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \times e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0.2t}$, donde $t$ se mide en días desde su…
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0.2t}$, donde $t$ se mide en días desde su lanzamiento y $R(t)$ en miles de reproducciones. Calcula la tasa de variación instantánea $R'(t)$ aplicando las reglas de derivación e indica su expresión factorizada al máximo.
Regla del cociente
Descubramos la regla con un caso que ya sabemos resolver. Tomemos $\dfrac{x}{x^2}=x^{-1}$, cuya derivada es $-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$.
Si pensáramos que la derivada de un cociente es el cociente de las derivadas, saldría $\dfrac{1}{2x}$, que no coincide. Probemos entonces con el patrón del producto, escribiendo $\dfrac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$ con $f=x$ y $g=x^2$.
Con el producto: $f'g^{-1}+f\,(g^{-1})'=\dfrac{1}{x^2}+x\cdot\left(-\dfrac{2x}{x^4}\right)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$. Sí coincide.
Reordenando, esa suma es $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$. Con nuestros datos: $\dfrac{1\cdot x^2-x\cdot2x}{x^4}=\dfrac{-x^2}{x^4}=-\dfrac{1}{x^2}$.
Una aplicación: la recta tangente
La derivada en un punto es la pendiente de la tangente. Con la regla del cociente puedes hallar la tangente de una curva racional.
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
El costo medio de producción de un componente electrónico de alta precisión está dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, donde $x$ es el número de lotes fabricados (…
El costo medio de producción de un componente electrónico de alta precisión está dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, donde $x$ es el número de lotes fabricados ($x > 0$). Determina la función que describe el ritmo de cambio del costo medio, $C'(x)$.
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente…
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 5$ para diseñar un soporte estructural rectilíneo que se apoye tangencialmente en dicho punto.
Regla de la cadena
Una función compuesta tiene "capas": $\operatorname{sen}(4x^3-x)$ es un seno (capa de fuera) aplicado a $4x^3-x$ (capa de dentro).
Cuando $u$ es una fracción, como en $\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ con $x>1$, primero calculas $u'$ con la regla del cociente y después simplificas $1-u^2$ con álgebra. Ojo con el dominio: el arcoseno solo existe si $-1\le u\le1$, y para $x>1$ la fracción $\frac{x-1}{x+1}$ está entre $0$ y $1$, así que sí se puede derivar. Para simplificar te sirven tus apuntes de fracciones algebraicas.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Un brazo robótico articulado se mueve de tal forma que el ángulo de su articulación principal (en radianes), en función de un parámetro de control $x$, es…
Un brazo robótico articulado se mueve de tal forma que el ángulo de su articulación principal (en radianes), en función de un parámetro de control $x$, es $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ para $x > 1$. Obtén e indica la forma completamente simplificada de $\theta'(x)$.
Combinando las reglas
La mayoría de las funciones mezclan reglas. La estrategia siempre es la misma: identifica la operación más exterior (¿producto?, ¿cociente?, ¿función compuesta?), aplica su regla y, dentro de cada derivada que aparezca, vuelve a preguntarte si hace falta la cadena.
Exponencial por seno: comprobar una ecuación
Un producto como $e^{-\alpha t}\operatorname{sen}(\omega t)$ aparece en circuitos y vibraciones. Se deriva con producto y cadena, y las constantes $\alpha$ y $\omega$ salen multiplicando por la cadena.
Con datos de una gráfica
A veces no tienes la fórmula completa, solo valores de $f$, $g$ y sus derivadas en ciertos puntos, o sus gráficas. Si las gráficas son una parábola y una recta, puedes leer los puntos y calcular las derivadas con las reglas anteriores. Las reglas siguen funcionando.
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados…
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados Celsius y $t$ en horas. Halla la expresión de la velocidad de enfriamiento $T'(t)$ usando la regla de la cadena.
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. La gráfica de $f$ es la parábola $f(x)=-x^2+6x-3$, que pasa por los puntos $(2,\,5)$ y…
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. La gráfica de $f$ es la parábola $f(x)=-x^2+6x-3$, que pasa por los puntos $(2,\,5)$ y $(4,\,5)$. La gráfica de $g$ es la recta que pasa por los puntos $(2,\,4)$ y $(4,\,2)$. Se definen la función compuesta $h(x)=f(g(x))$ y la función producto $p(x)=f(x)\times g(x)$.
Calcula los valores exactos de:
- a) $h'(2)$
- b) $p'(4)$
En un circuito RLC de corriente alterna, la carga del condensador responde a la función $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Demuestra,…
En un circuito RLC de corriente alterna, la carga del condensador responde a la función $q(t) = e^{-\alpha t} (A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))$. Demuestra, calculando detalladamente $q'(t)$ y $q''(t)$, que para las constantes $A=1$, $B=0$, $\alpha=2$ y $\omega=3$, la función satisface la ecuación diferencial de segundo orden:
$$ q''(t) + 4q'(t) + 13q(t) = 0 $$Simplifica antes de derivar
Con logaritmos, las propiedades $\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ y $\ln a^n=n\ln a$ pueden convertir una derivada difícil en una fácil.
Si dentro del logaritmo aparecen funciones trigonométricas, al final necesitarás identidades para simplificar el resultado.
El nivel de presión sonora en una cámara anecoica, tras aplicar un filtro de frecuencias, viene dado por la función: $$ L(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(2x)}{1 -…
El nivel de presión sonora en una cámara anecoica, tras aplicar un filtro de frecuencias, viene dado por la función:
$$ L(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(2x)}{1 - \sin(2x)}} \right) $$Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de derivar y aplicando identidades trigonométricas en el resultado final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.
Derivación implícita
A veces la curva viene como una ecuación en $x$ y $y$ que no puedes despejar fácilmente, como $x^2+y^2=25$. La idea es derivar ambos lados respecto a $x$, recordando que $y$ depende de $x$. Así, $y^2$ es una función compuesta: $(y^2)'=2y\cdot y'$.
La trayectoria de un satélite durante una compleja maniobra orbital se describe en un plano de referencia mediante la curva definida de forma implícita por la ecuación…
La trayectoria de un satélite durante una compleja maniobra orbital se describe en un plano de referencia mediante la curva definida de forma implícita por la ecuación $x^2 y - 3y^3 x = 10$. Calcula el valor de la pendiente de la trayectoria, $y'$, en el punto de coordenadas $(-2, 1)$.
Derivadas sucesivas
Si $f'$ es una función, también se puede derivar. Se obtiene la segunda derivada $f''$, luego $f'''$, y en general $f^{(n)}$. La segunda derivada mide cómo cambia el ritmo de cambio: si $s$ es la posición, $s'$ es la velocidad y $s''$ es la aceleración.
Determina la segunda derivada, $f''(t)$, de la función $f(t) = \cos(5t) - t^3$.
Determina la segunda derivada, $f''(t)$, de la función $f(t) = \cos(5t) - t^3$.
La posición de un pistón neumático dentro de un cilindro está descrita por la ecuación de movimiento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, donde $s$ está en decímetros y $t$ en…
La posición de un pistón neumático dentro de un cilindro está descrita por la ecuación de movimiento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, donde $s$ está en decímetros y $t$ en segundos. Calcula la expresión de la aceleración del pistón, que corresponde a la segunda derivada $s''(t)$, y determina en qué instante $t > 0$ dicha aceleración se hace cero.
La intensidad de una señal electromagnética atenuada al atravesar un medio denso sigue la función $I(x) = x e^{-x}$. Calcula las tres primeras derivadas $I'(x)$,…
La intensidad de una señal electromagnética atenuada al atravesar un medio denso sigue la función $I(x) = x e^{-x}$. Calcula las tres primeras derivadas $I'(x)$, $I''(x)$ e $I'''(x)$, y a partir de los resultados obtenidos, deduce y escribe la fórmula general para la derivada enésima $I^{(n)}(x)$.
Vuelve al principio: las reproducciones $e^{t^2}$ tienen una capa de fuera ($e^u$) y una de dentro ($u=t^2$). Con la regla de la cadena, el ritmo de crecimiento es $2t\,e^{t^2}$. Crece cada vez más rápido, porque tanto $t$ como $e^{t^2}$ aumentan con el tiempo.