Cálculo de límites de funciones
Ximena quiere saber a qué valor se acerca $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ cuando $x$ se acerca a $5$. Teclea $x=5$ en su calculadora y aparece «Error»: obtuvo $\frac{0}{0}$. ¿Significa que el límite no existe? Ya sabes estimar límites con tablas y gráficas. Ahora los vas a calcular con exactitud, sin aproximar.
Sustitución directa e indeterminaciones
El primer intento siempre es sustituir $x=a$ en la función. Si la función es un polinomio, una fracción cuyo denominador no se anula, o una raíz con radicando positivo, el resultado de sustituir es el límite.
Esto se apoya en las propiedades de los límites, que te dejan calcular el límite de una operación a partir de los límites de sus partes.
Pero al sustituir pueden aparecer dos tipos de resultados que no son un número:
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$.…
La temperatura de un componente electrónico (en grados Celsius) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.
Límites laterales, funciones por partes y parámetros
Cuando $x$ se acerca a $a$, puede hacerlo por la izquierda ($x\to a^-$) o por la derecha ($x\to a^+$). El límite existe solo si ambos lados dan lo mismo.
Cuando sale $\frac{k}{0}$. Hay que decidir el signo en cada lado.
Funciones definidas por partes. En el punto donde cambia la fórmula se calcula cada límite lateral con la fórmula que le toca. Si los dos coinciden con el valor de la función en ese punto, la función es continua ahí.
Valor absoluto. $|x|=x$ si $x>0$ y $|x|=-x$ si $x<0$. Por eso $\dfrac{|x|}{x}$ vale $1$ a la derecha de $0$ y $-1$ a la izquierda.
Leer límites en una gráfica. Sigue la curva con el dedo hacia el valor de $x$ que te piden, primero desde la izquierda y luego desde la derecha, y fíjate en la altura a la que llegas, no en el punto relleno o hueco que haya ahí. Si la curva se aleja hacia arriba o hacia abajo, el límite es $+\infty$ o $-\infty$. Para $x\to+\infty$, mira hacia dónde se estabiliza el extremo derecho.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$…
La velocidad de un vehículo de prueba (en m/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:…
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 3x + 100$. Para…
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en pesos en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 3x + 100$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 4\,000}{x}$. Encuentra el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función…
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad…
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.
Factorizar para resolver $\frac{0}{0}$
Si el numerador y el denominador son polinomios que se anulan en $x=a$, los dos tienen el factor $(x-a)$. Factorizas, simplificas ese factor y ya puedes sustituir.
Esto responde a Ximena: $\dfrac{x^2-25}{x-5}=x+5$ para $x\neq5$, así que el límite en $5$ vale $10$ aunque la calculadora marque error.
Cuando hay resta de fracciones, primero se suman con denominador común y luego se factoriza:
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización: $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas: $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:
$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
El conjugado con raíces
Si la indeterminación viene con una raíz cuadrada, multiplica numerador y denominador por el conjugado. Como $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, la raíz desaparece del lugar donde estorba.
Con dos raíces en el numerador se conjuga igual: $(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$.
Con funciones trigonométricas se usa el mismo truco y el límite conocido $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1$. Por ejemplo, para $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$, multiplica por $1+\cos x$: el numerador se vuelve $1-\cos^2x=\operatorname{sen}^2x$, y queda $\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^2\cdot\dfrac{1}{1+\cos x}\to 1\cdot\dfrac12$.
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica…
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
Límites en el infinito
Cuando $x\to+\infty$ interesa qué término «manda»: el de mayor potencia. La técnica: divide numerador y denominador entre la mayor potencia de $x$; los términos con $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{x^2}$… tienden a $0$.
Con raíces. Para $x\to+\infty$, $\sqrt{9x^2+4x}$ se comporta como $\sqrt{9x^2}=3x$, es decir, la raíz «cuenta» como un término de grado $1$. Al dividir entre $x$ metes $x$ dentro de la raíz como $x^2$:
$$\frac{\sqrt{9x^2+4x}}{x}=\sqrt{9+\tfrac4x}\to3.$$Raíces de distinto índice. Si restas una raíz cúbica y una cuadrada, el conjugado simple no sirve. Compara cada raíz por separado con una expresión lineal que se le parezca: por ejemplo, $\sqrt[3]{x^3+6x^2}$ se parece a $x+2$ y $\sqrt{x^2+2x}$ se parece a $x+1$. Suma y resta esas expresiones, resuelve cada diferencia (con $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ para la cúbica) y verás que cada diferencia tiende a un número.
Parámetros. Si el límite en el infinito debe valer un número, iguala los coeficientes que mandan. Para $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{kx^3+\dots}{2x^3+\dots}=4$ se necesita $\frac{k}{2}=4$. Si hay una resta $\infty-\infty$, primero junta todo en una sola fracción y exige que el grado del numerador no supere al del denominador.
Asíntota horizontal. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$, la gráfica se acerca a la recta $y=L$. Así se responde a «¿hacia qué valor tiende…?» en un modelo de crecimiento con $e^{-0.2t}$: como $e^{-0.2t}\to0$ cuando $t\to+\infty$, el término $49e^{-0.2t}$ desaparece del denominador.
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:…
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística…
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0.2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:…
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o…
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$
Ampliación: el número $e$ y las exponenciales
Aquí hay dos situaciones: la indeterminación $1^\infty$, y el $\frac{0}{0}$ con una exponencial en $x\to0$.
La indeterminación $1^\infty$
Si la base tiende a $1$ y el exponente tiende a $\infty$, la indeterminación se resuelve con el número $e$.
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
El $\frac{0}{0}$ con exponencial: $\dfrac{e^{ax}-1}{x}$
Cuando $x\to0$, $e^{ax}\to1$, así que $e^{ax}-1\to0$ y el cociente $\dfrac{e^{ax}-1}{x}$ es $\frac{0}{0}$. No se factoriza ni se conjuga, pero se resuelve con una tabla de apoyo y con la idea de pendiente: $\dfrac{e^{ax}-e^{0}}{x-0}$ es la pendiente de la secante entre $x=0$ y $x$, y al acercarse $x$ a $0$ es la pendiente de la tangente a $e^{ax}$ en $0$.
Si el límite que te piden tiene un factor extra (por ejemplo, $x$ multiplicando o $\frac12$ de un área), usa las propiedades de los límites: calcula cada factor con lo que ya sabes y combina los resultados. Si un factor tiende a $0$ y el otro a un número, el producto tiende a $0$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.