Medida de ángulos: grados y radianes
Una noria en Chapultepec da una vuelta completa en unos minutos. ¿Qué tanto se mueve una cabina si la noria gira un cierto ángulo? Hasta ahora has medido los ángulos en grados, una unidad que se eligió por tradición: $360$ partes para una vuelta. En este semestre aparece una segunda unidad, el radián, que sí tiene una razón geométrica: sale de comparar un arco con su radio. Es la unidad que usan la física y la ingeniería porque simplifica las fórmulas de rotación.
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imagina que tomas el radio de una circunferencia y lo doblas sobre el borde, como si fuera un hilo. El ángulo central que abarca ese arco, igual de largo que el radio, es un radián. No importa si la circunferencia es chica o enorme: la proporción entre arco y radio es la misma para un mismo ángulo.
La circunferencia completa mide $2\pi r$ y cada radián abarca un arco de longitud $r$; por eso en una vuelta caben exactamente $2\pi$ radianes. Así, $2\pi$ rad $=360^\circ$ no es casualidad: sale de la definición.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad. Esa equivalencia es la regla de tres que convierte en cualquier dirección.
Grados, minutos y segundos
Cuando un resultado en grados no sale exacto, se suele expresar en grados, minutos y segundos: $1^\circ=60'$ (minutos) y $1'=60''$ (segundos). Es igual que con las horas: la parte decimal se multiplica por $60$ para obtener la unidad menor.
Para el ejercicio MEDIO-02, calcula primero el ángulo en radianes, conviértelo a grados decimales y luego sepáralo en grados, minutos y segundos como arriba.
El octógono regular del ejercicio 07 usa esto: la suma de los ángulos interiores de un polígono de $n$ lados es $(n-2)\cdot180^\circ$, y en un polígono regular se reparte en partes iguales.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Vueltas completas, ángulos negativos y el cuadrante
Un ángulo puede pasar de una vuelta o ser negativo (giro en sentido de las manecillas del reloj). Para saber dónde termina, súmale o réstale vueltas completas ($360^\circ$ o $2\pi$ rad) hasta dejarlo entre $0$ y la vuelta.
Para ubicar el cuadrante: $0$ a $90^\circ$ es el I, $90^\circ$ a $180^\circ$ el II, $180^\circ$ a $270^\circ$ el III y $270^\circ$ a $360^\circ$ el IV.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco y área de un sector circular
Aquí el radián muestra su utilidad: como $1$ rad es un arco igual al radio, un arco de $\theta$ radianes mide $\theta$ veces el radio.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ cm de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ cm. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Velocidad angular: cuántos radianes por segundo
Cuando algo gira (un disco, una rueda, el haz de un faro), interesa qué ángulo recorre por unidad de tiempo: es la velocidad angular, que se mide en rad/s.
Este mismo razonamiento sirve para poleas unidas por una banda: los puntos del borde de ambas recorren el mismo arco $s$, así que $r_1\theta_1=r_2\theta_2$.
Vuelve al principio: si una noria gira un ángulo $\theta$ en radianes, una cabina a distancia $r$ del eje recorre un arco $s=r\theta$.
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2.5$ segundos.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.
Las manecillas del reloj
Un reloj analógico tiene dos «discos» girando a velocidades angulares distintas. El minutero da una vuelta ($2\pi$ rad) en $60$ min; la manecilla horaria da una vuelta en $12$ h, es decir, en $720$ min.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente…
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 h y las 8:00 h, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Expresa también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 h hasta ese instante preciso, en radianes.
Arcos que se acortan: sumar una cantidad infinita de arcos
Un péndulo con fricción no oscila siempre igual: cada vaivén es un poco más corto que el anterior. Para saber cuánto recorre en total hay que sumar muchos arcos, cada uno una fracción fija del anterior.
Mira un caso sencillo: $100+50+25+12.5+\dots$, donde cada término es la mitad del anterior. Los términos se hacen tan pequeños que la suma no crece sin límite, sino que se acerca a un valor. ¿Cuál? Llama $S$ a la suma total. Si quitas el primer término, lo que queda es exactamente la mitad de $S$ (cada término es la mitad del anterior). Entonces:
$$S=100+\frac{1}{2}S\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}S=100\quad\Longrightarrow\quad S=200$$La idea clave: lo que queda tras el primer término es la misma suma, multiplicada por la fracción fija $r$. Es decir, $S=a+rS$. Esto funciona cuando $r$ está entre $0$ y $1$, porque así los términos sí se acortan.
Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera…
Un péndulo de longitud $L = 1$ metro oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.