Función inversa

La función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no tiene función inversa en todo $\mathbb{R}$ porque no es inyectiva. Restringe su dominio al intervalo $[3, +\infty)$ y calcula la expresión analítica de su función inversa en dicho intervalo.

Encuentra la expresión analítica de la función inversa o recíproca de la función lineal $f(x) = 3x - 5$.

Determina la función recíproca de la función racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

La relación que permite convertir una temperatura dada en grados Celsius ($C$) a grados Fahrenheit ($F$) es $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Encuentra la función inversa $C(F)$ y utilízala para calcular a cuántos grados Celsius corresponden $68$ grados Fahrenheit.

Obtén la función inversa de la función exponencial $f(x) = 2^{x-3}$.

El número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería crece según el modelo $U(t) = 150 \times e^{0.2t}$, donde $t$ se mide en semanas y $U(t)$ en miles de usuarios. Determina la función inversa $t(U)$ y úsala para calcular cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la aplicación alcance los $3000$ miles de usuarios (tres millones).

La propagación de un virus informático en una red cerrada se modela mediante la función logística $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0.5t}}$, donde $N(t)$ es el número de computadoras infectadas y $t$ representa los días transcurridos desde la detección inicial. Determina la función inversa $t(N)$. ¿Qué significado tiene el dominio de esta función inversa en el contexto del límite de propagación del virus?

Comprueba, utilizando la composición de funciones, si $f(x) = \frac{x+1}{2}$ y $g(x) = 2x - 1$ son funciones inversas. Debes verificar que $(f \circ g)(x) = x$ y que $(g \circ f)(x) = x$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sea su propia inversa, es decir, que se cumpla la condición $f(f(x)) = x$ para cualquier valor de su dominio.

Sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ es su propia función inversa (es decir, $f^{-1}(x) = f(x)$) y que su gráfica pasa por los puntos $(2, 5)$ y $(0, -3)$, plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores numéricos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{x}{x-2}$ y $g(x) = \sqrt{x+1}$, obtén paso a paso la expresión analítica de la función inversa de la composición, es decir, $(f \circ g)^{-1}(x)$, y determina el dominio de validez de esta nueva función.

Calcula la función inversa de la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Comprueba analíticamente que el dominio de $f^{-1}$ coincide exactamente con el recorrido de $f$.

Dada la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$, dibuja en tu cuaderno los ejes de coordenadas, la recta bisectriz del primer cuadrante ($y = x$) y esboza la gráfica de su función inversa $f^{-1}(x)$. Identifica las coordenadas de al menos tres puntos por los que pase $f^{-1}(x)$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, halla su función inversa $f^{-1}(x)$. A continuación, calcula el dominio de $f(x)$ y el dominio de $f^{-1}(x)$, y explica la relación que existe entre estos dominios y los recorridos (imágenes) de ambas funciones.

Sea la función radical $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ indicando claramente su dominio. Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de $f(x)$ y $f^{-1}(x)$, sabiendo que por simetría dichos puntos deben encontrarse sobre la recta $y = x$.

Demuestra algebraicamente que si $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, entonces su función inversa viene dada por la expresión $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. A continuación, justifica mediante la resolución de una ecuación si la gráfica de $f(x)$ interseca a la gráfica de su función inversa.