Un cohete de agua sale disparado en la feria de ciencias de tu prepa. ¿Durante cuántos segundos va a estar por encima de los 17 metros? Una inecuación de segundo grado no se despeja como una ecuación: se estudia. Hallas las raíces, divides la recta en tramos y decides el signo de cada tramo. Al final del apartado responderemos la pregunta del cohete.
El método: raíces y tabla de signos
Inecuaciones incompletas y lectura gráfica
Si falta un término no necesitas la fórmula general. En $2x^2-8x\le0$ factorizas: $2x(x-4)\le0$, con raíces $0$ y $4$; como $a>0$, es negativa entre ellas: $[0,4]$. En $3x^2-27<0$ despejas: $x^2<9$, o bien $(x-3)(x+3)<0$, y la solución es $(-3,3)$.
También puedes leer la solución en la gráfica: $f(x)\ge0$ es donde la parábola está sobre el eje $x$ o lo toca; $f(x)\le0$, donde está debajo o lo toca.
Practica★☆☆Sin empezar
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelve la siguiente inecuación de segundo grado y expresa la solución en forma de intervalo:
Casos sin dos raíces: la parábola no corta al eje o lo toca en un punto
No siempre hay dos raíces distintas. Si el discriminante es negativo, la parábola no corta el eje $x$: es siempre positiva o siempre negativa, según el signo de $a$. Si el discriminante es cero, hay una raíz doble y el signo es el mismo a ambos lados.
Practica★☆☆Sin empezar
Halla el conjunto solución de la inecuación: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Un sistema de inecuaciones se resuelve así: cada inecuación por separado y luego la intersección de las soluciones. En los problemas, la inecuación suele venir de una función cuadrática que modela algo real (altura de un proyectil, ganancia de un negocio, área de un terreno). Recuerda que a veces hay restricciones: longitudes y tiempos deben ser positivos.
Dominio de una raíz cuadrada
Una raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que cero. Para $f(x)=\sqrt{-2x^2+7x-3}$ resuelves $-2x^2+7x-3\ge0$: raíces $x=\tfrac12$ y $x=3$, la parábola abre hacia abajo, así que es positiva entre ellas y el dominio es $\left[\tfrac12,3\right]$. Si la raíz está en un denominador, la condición es estricta ($>0$), pues además no puede valer $0$.
Comparar dos funciones: ¿cuándo $f(x)
Para saber dónde una gráfica queda por debajo de otra, pasa todo a un miembro: $f(x)
En la gráfica, la región encerrada entre las dos curvas es justo la zona donde una va arriba de la otra. Aquí solo la usamos para comprobar tu resultado: sus extremos son los cruces y la curva de arriba es la mayor. No hace falta calcular su área.
Practica★☆☆Sin empezar
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita:
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
La altura $h$ en metros de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantea y resuelve la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ metros.
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática…
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de pesos, al fabricar $x$ unidades de un producto se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -10x^2 + 800x - 7\,000$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Expresa el resultado en forma de intervalo.
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las…
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantea y resuelve la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$.…
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determina analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándote en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, comprueba la coherencia de tu resultado.
Cuando la inecuación lleva una letra ($k$, $m$…) además de $x$, a veces se pide para qué valores del parámetro se cumple para todo $x$ real. Ocurre cuando la parábola no corta nunca al eje $x$.
Practica★★☆Sin empezar
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones y da la solución final en forma de intervalo:
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y expresa la solución final como unión de intervalos:
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Halla el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: