Ecuaciones cuadráticas
Una pelota de futbol sale disparada hacia arriba y quieres saber en qué momento pasa por cierta altura. Una ecuación cuadrática te da la respuesta, y además te dice, sin resolverla, cuántas respuestas hay. En este apartado la usas como herramienta: la resuelves por distintos caminos, la relacionas con su gráfica y la aplicas a problemas.
Forma general y fórmula general
Cada solución de la ecuación es un punto donde la parábola $y=ax^2+bx+c$ corta al eje $x$. Mueve los deslizadores y observa cómo cambian los cortes.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Completar cuadrados
La fórmula general no sale de la nada: se obtiene con un método que sirve para cualquier cuadrática, completar el cuadrado. La idea es convertir $x^2+bx$ en un trinomio cuadrado perfecto $(x+\tfrac{b}{2})^2$ sumando $\left(\tfrac{b}{2}\right)^2$ en ambos lados.
Ecuaciones incompletas
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante y la gráfica
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determina el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Relaciones entre raíces y coeficientes
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcula la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcula el valor del parámetro $m$ y halla la otra solución.
Ecuaciones con parámetro y cambio de variable
Dos situaciones aparecen seguido: una ecuación con una letra extra (un parámetro, como $m$ o $k$) de la que hay que decidir cuántas soluciones tiene; y una ecuación de aspecto complicado que, con un cambio de variable, se reduce a una cuadrática.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discute el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelve la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Problemas con ecuaciones cuadráticas
La altura de una pelota o de un cohete de agua es una parábola. Pregunta por una altura concreta y obtienes una ecuación cuadrática.
Figuras inscritas y triángulos semejantes
Cuando un rectángulo se inscribe en un triángulo rectángulo, con una esquina en el ángulo recto y el vértice opuesto sobre la hipotenusa, arriba del rectángulo queda un triángulo pequeño con los mismos ángulos que el grande: son semejantes. Por eso sus lados son proporcionales, y esa proporción te da la segunda relación que necesitas para plantear la ecuación.
Fíjate: aquí $\Delta=0$, y por eso el rectángulo es único. El rectángulo de mayor área posible en ese triángulo mide justo $12\text{ cm}^2$.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos,…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en metros respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determina en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ metros de altura.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación y halla el ancho del marco.
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantea una ecuación de segundo grado y resuelve para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y halla las dimensiones posibles del rectángulo.
Un grupo de amigos decide rentar un velero para el fin de semana por un costo total de $7\,200$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de…
Un grupo de amigos decide rentar un velero para el fin de semana por un costo total de $7\,200$ pesos, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $180$ pesos más cada uno para cubrir el costo total. Plantea una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.
Vuelve al principio: para saber cuándo pasa la pelota por cierta altura, igualas $h(t)$ a esa altura y resuelves la cuadrática; el discriminante te avisa si la pelota llega o no a esa altura.