Discusión de un sistema de dos ecuaciones
Dos drones sobrevuelan la Pirámide del Sol, en Teotihuacan. Sus trayectorias son rectas y dependen de un parámetro $v$ que representa el viento. Según el valor de $v$, las trayectorias se cruzan en un solo punto o van paralelas (en otros sistemas, incluso podrían coincidir). En esta página aprenderás primero a clasificar un sistema de dos ecuaciones y a verlo como rectas. Después aprenderás a responder esa pregunta para todos los valores del viento a la vez.
Qué significa clasificar un sistema
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta en el plano cartesiano. Resolver el sistema es buscar los puntos que están en las dos rectas a la vez. Por eso solo hay tres posibilidades:
Si las dos rectas tienen pendientes distintas, siempre se cortan en un punto (SCD). Para ser paralelas o coincidentes, las pendientes tienen que ser iguales.
Clasificar un sistema numérico
La forma más rápida de clasificar es comparar los coeficientes de las dos ecuaciones.
Ya puedes con un caso donde un número cambia: en el siguiente sistema el valor de $m$ no altera las pendientes.
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Ampliación: el determinante y los parámetros
Discutir un sistema con parámetro es clasificarlo (SCD, SCI o SI) en función de un valor $m$, $k$, $a$… que aparece en sus coeficientes. El resultado no es un número: es una lista de casos.
Dividir entre coeficientes que pueden valer cero es incómodo. Hay una forma más limpia: el determinante del sistema.
El procedimiento es siempre el mismo: (1) calcula $\Delta$ en función del parámetro, (2) resuelve $\Delta=0$, (3) estudia cada valor encontrado, (4) escribe la conclusión con todos los casos.
Mueve $m$ en la figura. Las rectas son $x-2y=3$ y $mx+4y=-6$. ¿Para qué valor de $m$ se encuentran encimadas?
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discute, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $tx + y = t$ $x + ty = 1$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:
$tx + y = t$
$x + ty = 1$
Los valores especiales: ¿indeterminado o incompatible?
Cada valor que hace $\Delta=0$ se estudia por separado. Para un mismo valor del parámetro, el sistema es SCI o SI, nunca las dos cosas.
Cuando el sistema es SCI, la solución se escribe con un parámetro libre.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determina el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halla el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escribe la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discute el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, expresa las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Cuando es determinado: regla de Cramer
A veces la discusión pide más que clasificar: por ejemplo, que la solución cumpla una condición, como estar sobre el eje $y$. Si $\Delta\neq0$, la solución se obtiene directamente con la regla de Cramer:
Para exigir una condición, como «la solución está sobre el eje $y$» ($x=0$), iguala a $0$ la fórmula de $x$ y despeja el parámetro. Después comprueba que ese valor cumpla $\Delta\neq0$.
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentra los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$: $cx - 2y = 1$ $x - cy = 2$
Discute el sistema dependiente del parámetro $c$:
$cx - 2y = 1$
$x - cy = 2$
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre…
Determina para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):
$ax + 3y = 6$
$2x - ay = a$
Discusión en problemas de contexto
El parámetro puede representar un impuesto, una concentración, una resistencia o la velocidad del viento. La discusión matemática es la misma. Lo que cambia es que al final se interpreta el resultado: «las trayectorias coinciden si $v=\ldots$», «no hay equilibrio si $t=\ldots$».
Cuando el parámetro está en un contexto, pregúntate si solo tiene sentido en cierto rango. Por ejemplo, si una concentración no puede ser negativa, descarta esos valores en la conclusión. Si $\Delta$ es una expresión que nunca vale cero (como $t^2+4$), el sistema no puede ser incompatible para ningún $t$ real.
Vuelve al principio: para los drones, el sistema es $vx+2y=4$, $2x+vy=v$, con $\Delta=v^2-4$. Si $v\neq\pm2$, las trayectorias se cruzan en un punto. Para $v=2$ y $v=-2$ hay que sustituir y comparar: $\dfrac{v}{2}=\dfrac{2}{v}$ solo si $v=\pm2$, y en esos casos la razón de los términos independientes es distinta, así que las trayectorias van paralelas (SI) y nunca se encuentran. En este sistema nunca coinciden (no hay caso SCI).
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discute para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$: $2x - ty = 3$…
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discute la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo…
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:
$cx + 4y = c^2$
$x + cy = 2$
Discute la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.
Dos parámetros y coeficientes complicados
Con dos parámetros el método no cambia: calcula $\Delta$, iguala a cero y estudia los casos. Ahora la condición $\Delta=0$ relaciona los dos parámetros, y para cada caso hay que comparar también los términos independientes.
El determinante funciona igual si los coeficientes son fracciones o expresiones como $\operatorname{sen}\alpha$ y $\cos\alpha$.
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones: $(k+1)x + y = 2$ $kx + (k-1)y = 1$
Discute, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:
$(k+1)x + y = 2$
$kx + (k-1)y = 1$
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discute la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
Más práctica con parámetros múltiples y coeficientes no numéricos:
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$): $\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$ $kx + (k-1)y = 2$
Discute el siguiente sistema lineal en función del parámetro $k$ (considera que $k \neq 0$ y $k \neq 1$):
$\frac{x}{k} + \frac{y}{k-1} = 1$
$kx + (k-1)y = 2$
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$: $R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$…
En un circuito eléctrico, las intensidades $I_1$ e $I_2$ cumplen el siguiente sistema dependiente de una resistencia variable $R$:
$R I_1 + (R+1) I_2 = 2R$
$(R-1) I_1 + R I_2 = R^2$
Discute la existencia y unicidad de las intensidades en función del valor de la resistencia $R$.
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discute el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determina las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$: $(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$ $(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$ ¿Existe algún…
Discute el siguiente sistema lineal con parámetro $\alpha \in [0, 2\pi]$:
$(\sin \alpha) x + (\cos \alpha) y = 1$
$(\cos \alpha) x - (\sin \alpha) y = 0$
¿Existe algún valor de $\alpha$ para el cual el sistema no sea compatible determinado? Justifica tu respuesta matemáticamente.
Una recta y una curva
Cuando una de las ecuaciones no es lineal, como una parábola o una circunferencia, el sistema ya no se clasifica con $\Delta$. El método es sustitución: despeja una incógnita de la recta, sustitúyela en la curva y obtén una ecuación cuadrática. El número de soluciones lo da el discriminante $D=b^2-4ac$:
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discute el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discute la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discute el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.