Inecuaciones lineales con una incógnita
Ximena quiere rentar un auto para un viaje de CDMX a Puebla y dos empresas le ofrecen tarifas distintas. ¿A partir de cuántos kilómetros conviene una y no la otra? Una inecuación lineal se resuelve casi igual que una ecuación de primer grado, con una regla extra que lo cambia todo: al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
El método: transponer y despejar
La solución se escribe como intervalo: círculo abierto o paréntesis cuando el extremo no se incluye ($<$, $>$), círculo cerrado o corchete cuando sí ($\le$, $\ge$).
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $3x - 5 < 2x + 4$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$3x - 5 < 2x + 4$
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Dada la inecuación $4x - 7 \ge 2x + 1$, comprueba cuáles de los siguientes valores pertenecen a su conjunto solución: $x = -2$, $x = 0$, $x = 4$, $x = 5$.
Con paréntesis y denominadores
Si hay paréntesis, se desarrollan primero. Si hay denominadores, se multiplica toda la inecuación por el mcm, que es positivo, así que el sentido no cambia en ese paso.
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis: $2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Halla el conjunto de soluciones de la inecuación eliminando primero los paréntesis:
$2(x - 3) + 4 \ge 5x - 1$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Resuelve la siguiente inecuación con denominadores:
$\frac{x}{2} - 1 \le \frac{3x}{4} + 2$
Problemas: traducir al lenguaje algebraico
Lo más útil de las inecuaciones es traducir un enunciado a una desigualdad y resolverla. Estas expresiones se repiten:
| Frase | Símbolo |
|---|---|
| «al menos», «como mínimo», «igual o superior a» | $\ge$ |
| «a lo sumo», «como máximo», «no debe superar» | $\le$ |
| «más que», «mayor que», «supera» | $>$ |
| «menos que», «estrictamente menor que» | $<$ |
Por ejemplo, «el doble de un número menos tres es estrictamente menor que el número más cinco» se escribe $2x-3 Regresemos con Ximena. Las dos empresas cobran lo siguiente (con $x$ en kilómetros): Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades." Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $10\,000$ pesos y producir cada funda cuesta $40$ pesos. Si cada funda se vende a $100$ pesos, plantea una inecuación y determina cuántas fundas deben venderse como mínimo al mes para obtener una ganancia de al menos $20\,000$ pesos. La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela para determinar a partir de qué temperatura en grados Celsius se superan los $86$ grados Fahrenheit. Un estudiante de 1° de preparatoria obtuvo las siguientes calificaciones en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué calificación mínima debe sacar en el cuarto examen para que su promedio sea igual o superior a $7.5$? Una empresa de renta de autos (Cía. A) cobra una tarifa fija de $600$ pesos más $3$ pesos por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $300$ pesos fijos más $4$ pesos por kilómetro. Plantea una inecuación para averiguar a partir de cuántos kilómetros resulta más barato rentar el auto en la Cía. A e interpreta el resultado apoyándote en la siguiente gráfica. Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $200$ pesos al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $40$ pesos por cada GB adicional. La Tarifa Plus cuesta $400$ pesos al mes e incluye $5$ GB de datos, cobrando $30$ pesos por cada GB adicional. Si un usuario sabe que siempre consume más de $5$ GB al mes, ¿cuántos gigabytes debe consumir como mínimo para que la Tarifa Plus le resulte estrictamente más económica que la Tarifa Plana? Un ascensor de carga tiene una capacidad máxima de $800$ kg. Un operario que pesa $75$ kg debe subir cajas de material de construcción que pesan $22$ kg cada una. Si el operario siempre debe acompañar a la carga en el ascensor, plantea y resuelve una inecuación para determinar el número máximo de cajas enteras que puede transportar en un solo viaje.Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El doble de un número menos tres unidades es estrictamente menor que el propio número más cinco unidades."
Una pequeña empresa fabrica fundas para celulares. Los costos fijos mensuales son de $10\,000$ pesos y producir cada funda cuesta $40$ pesos. Si cada funda se vende a…
La relación entre la temperatura en grados Fahrenheit ($F$) y grados Celsius ($C$) viene dada por la fórmula $F = \frac{9}{5}C + 32$. Plantea una inecuación y resuélvela…
Un estudiante de 1° de preparatoria obtuvo las siguientes calificaciones en sus tres primeros exámenes de matemáticas: $6.5$, $7.0$ y $8.2$. ¿Qué calificación mínima…
Una empresa de renta de autos (Cía. A) cobra una tarifa fija de $600$ pesos más $3$ pesos por kilómetro recorrido. Otra empresa competidora (Cía. B) cobra $300$ pesos…
Una compañía de telecomunicaciones ofrece dos tarifas de datos. La Tarifa Plana cuesta $200$ pesos al mes e incluye $2$ GB de datos, cobrando $40$ pesos por cada GB…
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Inecuaciones con parámetros
Cuando además de $x$ aparece otra letra (un parámetro), hay que ver el signo del coeficiente de $x$ antes de dividir. Si puede ser positivo, negativo o cero, la solución depende del caso.
Otra situación típica es la inversa: te dan la solución y debes hallar el parámetro. En $3x-a>2x+5$ queda $x>5+a$. Si la solución es $(8,\infty)$, entonces $5+a=8$, así que $a=3$.
Si el parámetro aparece en los denominadores y se sabe su signo (por ejemplo $a>b>0$), esa información te dice si al multiplicar o dividir el sentido cambia o no. Antes de nada, factoriza o reúne los términos con $x$.
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo…
Considera la inecuación $3x - a > 2x + 5$, donde $a$ es un parámetro real. Calcula el valor de $a$ sabiendo que el conjunto solución de la inecuación es el intervalo $(8, \infty)$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Discute y resuelve la inecuación $kx - 3 \le 2x + k$ en función de los posibles valores del parámetro real $k$.
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:…
Resuelve la siguiente inecuación literal para la incógnita $x$, asumiendo que los parámetros cumplen la condición $a > b > 0$:
$\frac{x}{a} - \frac{x}{b} \ge \frac{a^2 - b^2}{ab}$
Vuelve al principio: Ximena debe elegir la Cía. A si piensa recorrer más de 300 km, y la B si recorrerá menos.