Inecuaciones con raíces cuadradas
Un perito revisa las marcas de derrape de un carro en una carretera federal. Con la fórmula $v = 10\sqrt{d}$ (velocidad $v$ en km/h, derrape $d$ en metros) quiere saber qué longitudes de derrape indican que el conductor rebasaba los $110$ km/h. Eso es una inecuación con raíz. Su clave: la raíz cuadrada solo existe si lo de adentro no es negativo, y para quitarla se eleva al cuadrado, pero solo cuando se puede hacer sin perder la desigualdad.
El dominio primero
Una raíz cuadrada real $\sqrt{P(x)}$ solo existe cuando $P(x) \geq 0$. Antes de hacer cualquier otra cuenta fijamos esa condición.
Si la raíz está en el denominador, el radicando debe ser estrictamente positivo, porque el denominador no puede ser cero. Por ejemplo, $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 9}}$ pide $x^2 - 9 > 0$, es decir, $x < -3$ o $x > 3$. (En la siguiente sección verás cómo resolver estas desigualdades cuadráticas.)
Si hay raíces anidadas, se piden las condiciones de la de afuera y de la de adentro. Para $\sqrt{4 - \sqrt{x}}$ se necesita $x \geq 0$ (raíz de adentro) y $4 - \sqrt{x} \geq 0$, o sea $\sqrt{x} \leq 4$, o sea $x \leq 16$. El dominio es $[0, 16]$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Repaso: inecuaciones cuadráticas con tabla de signos
Casi siempre el radicando es una expresión cuadrática, y para el dominio (o al elevar al cuadrado) hay que resolver algo como $x^2 - 4x + 3 \geq 0$. Este es el método.
Si las raíces no son enteras, se obtienen con la fórmula general.
Si el discriminante es negativo, la parábola no toca el eje $x$ y la expresión tiene siempre el mismo signo. Por ejemplo, $x^2 + 9 > 0$ para todo $x$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Raíz menor que un número: $\sqrt{P(x)} < k$
Cuando hay números a los lados de la raíz, primero se aísla la raíz. Por ejemplo, $4 - \sqrt{x+1} \leq 1$ se vuelve $-\sqrt{x+1} \leq -3$, y al multiplicar por $-1$ se invierte el sentido: $\sqrt{x+1} \geq 3$. Eso ya es el caso de la siguiente sección.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número: $\sqrt{P(x)} > k$
En la gráfica, la solución de $\sqrt{3x+6} \geq 3$ son las $x$ donde la curva está sobre la recta $y = 3$ (o la toca).
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Si la inecuación compara $\sqrt{P(x)}$ con $g(x)$, el signo de $g(x)$ cambia todo, así que se separa en casos.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación…
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.
Problemas con raíces
Muchas magnitudes usan raíces: periodo de un péndulo, distancias, velocidad de frenado. El método es el mismo: traducir el enunciado a una inecuación, fijar el dominio, resolver y filtrar con el contexto (una longitud o un tiempo no pueden ser negativos).
Algunos consejos para los problemas:
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Si hay una raíz y un número a cada lado, aísla la raíz primero y luego aplica las reglas.
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Con una diagonal $d$ y una base $b$ en un rectángulo, la altura es $\sqrt{d^2 - b^2}$. Como $d^2 - b^2 \geq 0$, pedir una altura mínima $h$ equivale a $d^2 \geq b^2 + h^2$.
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Con un periodo del péndulo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ y $g \approx \pi^2$, queda $T = 2\sqrt{L}$.
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Si la incógnita es una cantidad de piezas o lotes, se pide un valor entero: usa la parte entera del extremo.
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la…
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.
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El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?
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El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.
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Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.
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Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno plano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado está dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.
Sistemas, parámetros y raíces anidadas
Sistemas. Se resuelve cada inecuación por separado y se intersecan los resultados.
Parámetro. Pedir que $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se cumpla para todo $x$ equivale a pedir que el radicando sea estrictamente positivo para todo $x$. Eso ocurre cuando la parábola no toca el eje $x$: el discriminante es negativo, $m^2 - 36 < 0$, o sea $-6 < m < 6$. Con $m = \pm 6$ el radicando vale $0$ en un punto y la raíz no es $>0$ ahí.
Mueve $m$: cuando la gráfica se corta (hay valores de $x$ sin curva) el radicando se vuelve negativo en algún tramo.
Raíces anidadas. Se trabaja de afuera hacia adentro, pero cuidando el dominio de cada una. Para $\sqrt{x - \sqrt{1-x}} \geq 1$:
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
Resumen
Vuelve al principio: con $10\sqrt{d} > 110$ se obtiene $\sqrt{d} > 11$, y por tanto $d > 121$ m.