Razones trigonométricas recíprocas
En la azotea de un edificio de la CDMX se instala una antena y un cable tensado la sujeta al piso. Si conoces la altura de la antena y el ángulo del cable, ¿cómo obtienes la longitud del cable sin dividir cada vez entre un seno? Las razones recíprocas son justo eso: fracciones invertidas que acortan cuentas, simplifican expresiones y aparecen en la óptica y en la ingeniería. Al final de la página resolverás ese cable.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Ya conoces seno, coseno y tangente. Cada una tiene una «pareja» que es su inverso multiplicativo.
En el triángulo rectángulo: $\sec\alpha=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}$, $\csc\alpha=\dfrac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}$ y $\cot\alpha=\dfrac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}}$.
Para el primer ejercicio necesitas $\csc\alpha=\dfrac{1}{\operatorname{sen}\alpha}$ y obtener $\cos\alpha$ con el triángulo 3-4-5.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Valores notables y reducción al primer cuadrante
Los valores notables salen de invertir los de seno, coseno y tangente que ya conoces.
Para ángulos de otros cuadrantes usas el ángulo de referencia: calculas con el ángulo agudo equivalente y el signo lo decide el cuadrante.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Identidades pitagóricas con las recíprocas
La identidad fundamental $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones que se obtienen dividiéndola entre $\cos^2\alpha$ o entre $\operatorname{sen}^2\alpha$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Signo y existencia según el cuadrante
$\sec\alpha$ tiene el mismo signo que $\cos\alpha$; $\csc\alpha$, el de $\operatorname{sen}\alpha$; y $\cot\alpha$, el de $\tan\alpha$. La tabla de signos que ya conoces sirve igual.
Compara el seno con la cosecante en la gráfica: donde el seno vale $0$, la cosecante no existe, y donde el seno es $1$ o $-1$, ambas coinciden.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Simplificar expresiones
La estrategia más segura es pasar todo a seno y coseno: así se cancelan factores. Después, si conviene, vuelves a escribir el resultado con una recíproca.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \times \sec x + \sin x \times \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \times \sec x + \sin x \times \csc x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \times \cot^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \times \cot^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Demostrar identidades
Demostrar una identidad es mostrar que dos expresiones son iguales para todo ángulo donde están definidas. Las reglas del juego:
-
Trabaja un solo lado (normalmente el más complicado) hasta llegar al otro. No pases términos de un lado a otro.
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Pasa todo a seno y coseno, o usa una identidad pitagórica.
-
Si hay una suma o resta en el denominador, multiplica por su conjugado.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad:…
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \times \cos^2 \alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Un truco: $\csc\alpha\pm\cot\alpha$
Del mismo modo que $\sec^2\alpha-\tan^2\alpha=1$, de $1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$ sale $\csc^2\alpha-\cot^2\alpha=1$.
Esto sirve para demostrar identidades con cocientes y también para resolver ecuaciones: si conoces $\csc x+\cot x=k$, entonces $\csc x-\cot x=\dfrac1k$, y al sumar y restar obtienes cada razón por separado.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.
Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Ecuaciones con recíprocas
Para resolver una ecuación: (1) despeja la razón, (2) pásala a seno, coseno o tangente si hace falta, (3) busca todos los ángulos del intervalo con el ángulo de referencia y el cuadrante.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$Aplicaciones: cables, rayos y vigas
Cuando el dato conocido es un cateto y buscas la hipotenusa, la secante y la cosecante te dan la longitud con una sola multiplicación: $L=\text{cateto}\cdot\sec\alpha$ si el cateto es adyacente, y $L=\text{cateto}\cdot\csc\alpha$ si es opuesto.
Vuelve al principio: el cable de la antena mide «altura$\cdot\csc\alpha$» o «distancia$\cdot\sec\alpha$», según el cateto que conozcas. Con un solo producto obtienes su longitud, sin dividir entre un seno o un coseno.
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \times \sec \theta_r$, donde $h = 5$ cm es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \times \sin \theta_r$).
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.