Ecuaciones racionales
Un grupo de amigos de la prepa renta un camión para ir a Teotihuacan y se divide el costo. Si de pronto se suman cinco más, a cada uno le toca pagar menos. Para saber cuántos eran al principio, la incógnita termina en un denominador: eso es una ecuación racional. Aquí aprenderás a resolverlas y a no caer en la trampa de las soluciones falsas.
Dominio y el método básico
Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$
Resuelve la ecuación racional reduciendo previamente a común denominador:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{3x} = \frac{11}{6}$
Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas: $\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$
Resuelve la siguiente ecuación racional, indicando claramente sus soluciones válidas:
$\frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{5}{x(x+2)}$
Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores: $\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$
Determina la solución de la ecuación, prestando atención a los valores que anulan los denominadores:
$\frac{2x}{x+1} + \frac{1}{x-1} = 2$
Factorizar los denominadores antes del mcm
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad: $\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad:
$\frac{x+3}{x-1} = \frac{x-2}{x+1}$
Determina el número real $x$ que satisface la igualdad entre estas dos fracciones algebraicas: $\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$
Determina el número real $x$ que satisface la igualdad entre estas dos fracciones algebraicas:
$\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x+3}$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación: $\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación:
$\frac{4}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{1}{x^2-4}$
Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas: $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$
Resuelve la ecuación simplificando las fracciones algebraicas:
$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}$
Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo: $\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$
Resuelve la ecuación racional factorizando previamente los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo:
$\frac{x}{x^2-4} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x-2}$
Cuidado con las soluciones extrañas
Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión: $\frac{x^2-9}{x-3} = 6$
Calcula los valores reales de $x$ para los cuales se cumple la siguiente expresión:
$\frac{x^2-9}{x-3} = 6$
Resuelve la siguiente ecuación racional: $\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$
Resuelve la siguiente ecuación racional:
$\frac{2}{x+3} + \frac{x}{x-3} = 1$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):…
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación, descartando aquellas que resulten ser falsas (soluciones extrañas):
$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{x}{x-3} = \frac{1}{x+2}$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación: $\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$
Halla los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación:
$\frac{x^2-x}{x^2-4x+3} = \frac{2x}{x-3} - 1$
Problemas con ecuaciones racionales
Con velocidades y precios el esquema es parecido: el tiempo es $t=\dfrac{d}{v}$ y el pago por persona es $\dfrac{\text{total}}{n}$. Ambos llevan la incógnita en el denominador.
Así se cierra el gancho: si el camión cuesta $\$8{,}000$ y con $5$ personas más cada una paga $\$80$ menos, con $n$ personas originales se plantea $\dfrac{8000}{n}-\dfrac{8000}{n+5}=80$. Multiplicando por $n(n+5)$ y dividiendo entre $80$ queda $n^2+5n-500=0$, de donde $n=20$ (se descarta $n=-25$). Eran 20 estudiantes.
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A…
Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $6$ horas en fabricar un lote completo de piezas para un proyecto de ingeniería. Si trabajaran por separado, la impresora A tardaría $5$ horas menos que la impresora B en completar el mismo lote. Plantea una ecuación racional y determina cuánto tiempo tardaría la impresora A trabajando sola.
Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el…
Un tren de mercancías debe recorrer una distancia de $300\text{ km}$. Si aumentara su velocidad media en $10\text{ km/h}$, tardaría $1$ hora menos en realizar el trayecto completo. Plantea una ecuación racional y calcula la velocidad media a la que circula el tren inicialmente.
Un grupo de estudiantes renta un autobús para una excursión por un precio total de $8\,000\text{ \$}$. A última hora se suman $5…
Un grupo de estudiantes renta un autobús para una excursión por un precio total de $8\,000\text{ \$}$. A última hora se suman $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente pague $80\text{ \$}$ menos. Plantea una ecuación racional para calcular cuántos estudiantes formaban el grupo original.
Corrientes, mezclas y áreas
Hay tres situaciones más que siempre terminan con la incógnita abajo. En una corriente, la velocidad real se suma o se resta a la del río. En una mezcla, la concentración es $\dfrac{\text{cantidad de sal}}{\text{volumen}}$ y el volumen cambia. En un rectángulo, un lado es $\dfrac{\text{área}}{\text{otro lado}}$.
Para el cartel rectangular de área $600$ cm², la altura es $\dfrac{600}{b}$ si la base es $b$. Al cambiar las medidas, el área sigue igual: $(b+10)\left(\dfrac{600}{b}-5\right)=600$.
Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera…
Un diseñador gráfico está creando un cartel rectangular cuya área debe ser exactamente de $600\text{ cm}^2$. Si aumentara la base del cartel en $10\text{ cm}$ y redujera la altura en $5\text{ cm}$, el área total seguiría siendo la misma. Plantea una ecuación racional y determina las dimensiones originales del cartel.
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo…
Un barco a motor realiza un trayecto por un río, recorriendo $24\text{ km}$ a favor de la corriente y luego regresando al punto de partida a contracorriente. El tiempo total de navegación ha sido de $5\text{ horas}$. Si la velocidad de la corriente del río es de $2\text{ km/h}$, plantea una ecuación racional para calcular la velocidad del barco en aguas tranquilas.
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo…
En un laboratorio se tienen $50\text{ L}$ de una disolución salina con una concentración inicial de $0.04\text{ kg/L}$. Se desea evaporar agua de la mezcla a un ritmo constante para aumentar su concentración (la cantidad de sal permanece invariable). Si se evaporan $x\text{ L}$ de agua, la nueva concentración debe ser de $0.1\text{ kg/L}$. Plantea la ecuación racional correspondiente y calcula la cantidad de agua que debe evaporarse.
Semejanza de triángulos y la fórmula de los cables
Dos postes verticales son paralelos, así que al tender un cable desde la punta de cada uno hasta la base del otro se forman triángulos con los mismos ángulos. Eso permite deducir la relación $\dfrac1h=\dfrac1{h_1}+\dfrac1{h_2}$ que da el ejercicio.
Llama $d$ a la distancia entre los postes y $p$ a la distancia del poste 1 al punto bajo el cruce. Con el triángulo del cable que sale de la punta del poste 2: $\dfrac{h}{h_2}=\dfrac{p}{d}$. Con el otro cable: $\dfrac{h}{h_1}=\dfrac{d-p}{d}$.
Al sumar: $\dfrac{h}{h_1}+\dfrac{h}{h_2}=\dfrac{d-p}{d}+\dfrac{p}{d}=1$. Dividiendo entre $h$ queda $\dfrac1{h_1}+\dfrac1{h_2}=\dfrac1h$.
Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ metros están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la…
Dos postes verticales de alturas $x$ y $x+2$ metros están separados por una cierta distancia en un terreno llano. Se tienden dos cables rectilíneos y tensos desde la parte superior de cada poste hasta la base del poste opuesto. El punto donde se cruzan los cables se encuentra a una altura de $2.4\text{ m}$ del suelo. Sabiendo que la altura del cruce $h$ cumple la relación geométrica $\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$ (donde $h_1$ y $h_2$ son las alturas de los postes), plantea una ecuación racional y calcula la altura de ambos postes.
En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula…
En un circuito electrónico se conectan dos resistencias en paralelo. La resistencia equivalente del conjunto, $R_{eq}$, se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se sabe que el valor de la resistencia $R_2$ es $5\ \Omega$ mayor que el de $R_1$, y que la resistencia equivalente del circuito es de $6\ \Omega$. Plantea y resuelve una ecuación racional para hallar el valor de ambas resistencias.
Ecuaciones avanzadas y con parámetro
Algunas ecuaciones se simplifican con un producto notable (por ejemplo, $\dfrac{x^3-8}{x-2}=x^2+2x+4$) o con un cambio de variable (por ejemplo, $t=\dfrac{x^2+1}{x}$, que convierte la ecuación en una cuadrática en $t$; después se regresa a $x$).
Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:…
Resuelve la siguiente ecuación racional, factorizando previamente los denominadores para operar con el mínimo común múltiplo:
$\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-7x+12} = \frac{2}{x^2-6x+8}$
Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$: $\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación racional realizando el cambio de variable $t = \frac{x^2+1}{x}$:
$\frac{x^2+1}{x} + \frac{6x}{x^2+1} = 5$
Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando productos notables antes de operar:…
Determina todas las soluciones reales de la ecuación, simplificando las fracciones algebraicas usando productos notables antes de operar:
$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{x^3+1}{x+1} + 3$
Dada la ecuación racional con parámetro $a$: $\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$ Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene…
Dada la ecuación racional con parámetro $a$:
$\frac{x+a}{x-1} + \frac{x-a}{x+1} = \frac{2x^2+2}{x^2-1}$
Determina para qué valores del parámetro $a$ la ecuación tiene infinitas soluciones, y para qué valores no tiene ninguna solución.