Definición de derivada de una función en un punto

Halla la tasa de variación instantánea (derivada) de la función $f(x) = 3x - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$, aplicando el límite del cociente de incrementos.

Calcula, utilizando la definición de derivada mediante el límite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, el valor de $f'(2)$ para la función $f(x) = x^2 + 3$.

El espacio recorrido por un objeto en caída libre en un planeta ficticio viene dado por $s(t) = 4t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad instantánea en $t = 3$ s aplicando la definición de derivada como límite.

Dada la función $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza la expresión alternativa de la definición $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrar la derivada en el punto $a = -1$.

Utilizando la definición de derivada mediante límites, calcula $f'(3)$ para la función racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Halla la derivada de la función con radicales $f(x) = \sqrt{x + 5}$ en el punto $x = 4$, aplicando la definición de derivada como límite y operando con el conjugado para resolver la indeterminación.

Calcula la derivada de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$ en el punto $x = 1$ recurriendo exclusivamente a la definición de derivada como límite. Muestra todos los pasos algebraicos necesarios para levantar la indeterminación.

Un ciclista en un velódromo recorre una distancia dada por la función $d(t) = t^2 + 5t$ (medida en metros, con $t$ en segundos). Calcula su velocidad instantánea en $t = 2$ segundos usando estrictamente la definición de derivada por límites.

En una fábrica de componentes tecnológicos, el costo total de producción de $q$ unidades está dado por la función $C(q) = 2\,000 + 40q + 2q^2$ en pesos. Determina el costo marginal (la derivada de la función de costo) cuando se producen exactamente $q = 20$ unidades, resolviendo el límite de la definición formal de derivada.

La altitud de un dron de observación agrícola sigue la ecuación $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$, con la altura $h$ expresada en metros y el tiempo $t$ en segundos. Utilizando la definición de derivada mediante el límite para un punto genérico $t$, obtén la función velocidad $v(t) = h'(t)$ y determina en qué instante exacto el dron alcanza su altura máxima (cuando su velocidad es nula).

Calcula, mediante la definición de derivada con el límite para un punto genérico $x$, la función derivada $f'(x)$ de $f(x) = x^3 - 3x$. A continuación, utiliza el resultado obtenido para encontrar los puntos de la curva donde la recta tangente es completamente horizontal.

La temperatura $T$ (medida en grados Celsius) de un procesador de computadora en función del tiempo $t$ (en minutos) tras iniciar un proceso intensivo de cálculo está dada por la expresión $T(t) = \frac{4t}{t^2 + 1} + 30$. Calcula el ritmo de calentamiento instantáneo (la derivada) exactamente en $t = 2$ minutos, evaluando paso a paso el límite de la definición de derivada.

Empleando la definición general de derivada $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, demuestra paso a paso que la función derivada de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ es exactamente $f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$ para cualquier valor de $x > 0$.

Demuestra, calculando explícitamente los límites laterales del cociente de incrementos, que la función de valor absoluto $f(x) = |x - 3|$ no es derivable en el punto $x = 3$.

La gráfica adjunta muestra una función continua que presenta un punto anguloso. Define analíticamente una función con valor absoluto que se corresponda con dicha gráfica y demuestra rigurosamente, calculando los límites laterales del cociente de incrementos, por qué la función no es derivable en $x = 2$.

Estudia si la siguiente función definida a trozos es derivable en $x = 2$, comprobando previamente su continuidad y aplicando después la definición de derivadas laterales:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Dada la función $f(x) = x|x|$, demuestra mediante la definición de derivada calculando los límites laterales del cociente de incrementos, que la función es suave (derivable) en $x = 0$ y halla el valor exacto de $f'(0)$.

Determina los valores exactos de los parámetros $a$ y $b$ para que la función definida a trozos

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

sea derivable en $x = 1$. Debes justificar tu respuesta aplicando la definición de continuidad y evaluando los límites de las derivadas laterales mediante el cociente de incrementos.

Supón que $f(x)$ es una función par (es decir, cumple que $f(-x) = f(x)$ para todo número real $x$) y que se sabe que es derivable en el punto de abscisa $x = 0$. Demuestra analíticamente, utilizando la definición de derivada mediante el límite $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$, que necesariamente se debe cumplir que $f'(0) = 0$.

Calcula la derivada de la función constante $f(x) = 7$ en el punto $x = 5$ aplicando la definición formal con el límite. Explica brevemente el significado geométrico del resultado obtenido.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = x^2$ en el punto de abscisa $x = 2$. Para ello, calcula primero la pendiente $m = f'(2)$ utilizando la definición de derivada mediante el límite.

Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ en el origen de coordenadas. Debes calcular la pendiente evaluando el límite de la definición de derivada en $x = 0$.

Encuentra las ecuaciones de todas las rectas tangentes a la curva $f(x) = x^3 - x$ que sean estrictamente paralelas a la recta de ecuación $y = 2x + 1$. Para resolverlo, debes obtener primero la expresión general de la pendiente $f'(x)$ aplicando la definición de derivada por límites.

La ganancia trimestral de una empresa de energías renovables en función de su inversión $x$ (en millones de pesos) sigue un modelo cuadrático de la forma $B(x) = -ax^2 + bx$. Sabiendo que la ganancia máxima se alcanza con una inversión exacta de $10$ millones de pesos y que dicha ganancia máxima asciende a $500$ millones, determina los valores de las constantes $a$ y $b$. Posteriormente, demuestra mediante la definición de derivada por límites que la razón de cambio instantánea en ese punto cumple $B'(10) = 0$.