Función exponencial
Un video se vuelve viral: cada hora, el número de personas que lo han visto se multiplica por un factor fijo, no se le suma una cantidad constante. Un café se enfría y la diferencia con la temperatura del cuarto se reduce en la misma proporción en cada minuto. En ambos casos la variable $t$ no está en la base, sino en el exponente, y eso cambia por completo la forma de crecer o decrecer. Esta es la función que vas a estudiar aquí.
La función exponencial
Toda función $f(x)=a^x$ pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$, y por $(1,a)$, porque $a^1=a$. El punto $(0,1)$ es, por tanto, el corte con el eje $y$ de todas las exponenciales. Mueve la base y observa qué se mantiene fijo.
Entre todas las bases hay una especial: el número $e\approx2.71828\ldots$, irracional, que aparece en procesos de crecimiento continuo (interés compuesto continuo, desintegración radiactiva, enfriamiento). La función $e^x$ es la exponencial de referencia en ciencias e ingeniería. Su base se deja escrita como $e$, salvo que se pida un valor numérico.
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando…
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando raíces o fracciones si fuera necesario.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \times a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \times a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Determina el dominio de definición de la siguiente función: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crecimiento y decrecimiento
¿Por qué? Al pasar de $x$ a $x+1$, el valor se multiplica siempre por $a$: $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$. Si ese factor es mayor que $1$, cada paso aumenta el valor; si es menor que $1$, lo reduce.
La gráfica de $-a^x$
Si pones un signo menos delante, $f(x)=-a^x$, cada valor cambia de signo: la gráfica es el reflejo respecto al eje $x$ de la de $a^x$. Ahora pasa por $(0,-1)$, todos sus valores son negativos (rango $(-\infty,0)$) y se acerca a $y=0$ por debajo. Si $a>1$, $-a^x$ es decreciente y baja hacia $-\infty$ cuando $x\to+\infty$; si $0 Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base: $f(x) = 4^x$ $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ $h(x) = 0.8^x$ $i(x) = e^x$ Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0.5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$. En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$. Determina analíticamente las coordenadas del punto de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. A continuación, calcula el área exacta del triángulo cuyos vértices son dicho punto de intersección y los dos puntos donde las curvas cortan a la recta $y = e$.Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base: $f(x) = 4^x$…
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$,…
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$. Determina analíticamente las coordenadas del punto…
Dominio, rango y asíntota horizontal
Al trasladar la gráfica, la asíntota se traslada con ella. En $g(x)=a^{x-p}+q$:
-
El exponente $x-p$ desplaza la curva $p$ unidades en horizontal.
-
El $+q$ final la desplaza $q$ unidades en vertical.
Si $a>1$, cuando $x\to-\infty$ el término $a^{x-p}$ tiende a $0$, así que $\lim_{x\to-\infty}\left(a^{x-p}+q\right)=q$. La asíntota es $y=q$. Si $0 Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$. Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de $g(x)$.Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.
Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función…
Asíntotas verticales, signo y continuidad
Cuando el exponente es una expresión de $x$, como en $f(x)=e^{g(x)}$, la exponencial hereda los problemas de $g$. Tres ideas bastan.
Una asíntota vertical $x=c$ aparece donde la función "se dispara" al acercarte a $c$. Para saberlo se calculan los límites laterales: $x\to c^-$ (por la izquierda) y $x\to c^+$ (por la derecha). Basta con que uno de ellos sea infinito.
Para estudiar el signo de una función con factor exponencial, recuerda que $e^{g(x)}>0$: el signo lo decide el otro factor.
Por último, $a^x$ es continua en todo $\mathbb{R}$. En una función definida por partes con trozos exponenciales, la continuidad se decide en los puntos donde cambia la fórmula: los límites laterales deben coincidir con el valor de la función. Por ejemplo, si un trozo $e^{ax}+b$ se pega en $x=0$ con $3x+2$, hay que igualar $e^{0}+b=1+b$ con $3\cdot0+2=2$.
Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la…
Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la función:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$
Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar: Su dominio de definición. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Las…
Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar:
-
Su dominio de definición.
-
Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
-
Las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales, si las tuviera.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$:
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Ecuaciones exponenciales
Hay cuatro técnicas, de la más sencilla a la más general.
¿Por qué funcionan los logaritmos aquí? Porque el logaritmo es la función inversa de la exponencial: $\log_a x$ deshace lo que hace $a^x$, y viceversa. Por eso $\log_a(a^x)=x$ y $a^{\log_a x}=x$; con base $e$, $\ln(e^x)=x$ y $e^{\ln x}=x$. En la gráfica, las curvas $y=a^x$ y $y=\log_a x$ son reflejo una de la otra respecto a la recta $y=x$: si $(p,q)$ está en una, $(q,p)$ está en la otra.
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Cuando hay dos incógnitas en exponentes y bases distintas, se llama a cada potencia con una letra nueva, $u=2^x$ y $v=3^y$ (con $u>0$, $v>0$). El sistema exponencial se convierte en un sistema lineal en $u$ y $v$. Lo resuelves con cualquiera de los métodos que ya conoces (sustitución, igualación, suma y resta) y al final deshaces el cambio.
Cuando los números están elegidos para que salgan potencias exactas (por ejemplo $u=8$ y $v=9$), deshacer el cambio es inmediato: $2^x=8\Rightarrow x=3$ y $3^y=9\Rightarrow y=2$.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad: $5^{2x-1} = 125$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
$5^{2x-1} = 125$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve: $8^x = \frac{1}{4}$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve:
$8^x = \frac{1}{4}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado: $9^x - 10 \times 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado:
$9^x - 10 \times 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una aproximación redondeada a dos cifras decimales.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias: $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias:
$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales: $$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$Modelos de crecimiento y decaimiento
Cuando el número de capitalizaciones por año crece sin límite se llega al interés compuesto continuo, $C(t)=C_0e^{rt}$. Tiene la misma forma $e^{\pm kt}$ que el enfriamiento de Newton o la desintegración medida con la constante $k$.
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en…
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en función del tiempo $t$ (expresado en horas). ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de $4$ horas?
Se invierten $100\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$. Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al…
Se invierten $100\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$.
-
Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo de $t$ años.
-
Calcula el capital total que se habrá acumulado tras $10$ años.
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial…
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial de $200$ gramos:
-
Escribe la función $M(t)$ que proporciona la masa restante del isótopo en función del tiempo $t$ en días.
-
¿Qué masa de dicho isótopo quedará tras $24$ días?
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $800\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su valor…
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $800\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior.
-
Escribe la función $V(t)$ que da el valor de la máquina en función de los años transcurridos.
-
¿Cuál será su valor después de $5$ años?
-
¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que su valor se reduzca a la mitad?
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:…
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:
$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0.5t}}$
donde $P(t)$ es el número de personas contagiadas y $t$ es el tiempo transcurrido en días desde el inicio del brote.
-
Calcula el número inicial de contagiados en el instante $t = 0$.
-
Determina cuántas personas estarán contagiadas transcurridos $10$ días.
-
Calcula el tiempo exacto necesario para que la mitad de la población esté contagiada.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial del objeto. Una taza de café a $90^\circ\text{C}$ se deja en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Si tras $10$ minutos la temperatura del café ha descendido a $60^\circ\text{C}$:
-
Calcula el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$.
-
Determina el tiempo total transcurrido desde el inicio para que el café alcance una temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Vuelve al principio: si el video tiene $N_0$ vistas y se multiplica por $k$ cada hora, las vistas siguen $N(t) = N_0\, k^t$. Y si una cantidad se reduce a la mitad en cada intervalo, sigue el modelo decreciente $V(t) = V_0\left(\frac12\right)^t$.