Forma polar y trigonométrica de un número complejo
Un videojuego 2D mueve a un personaje girándolo alrededor de un punto. ¿Cómo se puede girar un punto $60^\circ$ con una sola multiplicación? Hasta ahora ubicabas $z$ con dos coordenadas cartesianas $(a, b)$. Pero un punto también se describe con su distancia al origen y su ángulo, y con esos datos el producto, el cociente, las potencias y las raíces se vuelven muy sencillos. Al final de la página resolvemos la pregunta del giro.
Módulo y argumento
Como $a=r\cos\alpha$ y $b=r\sin\alpha$, el módulo sale del teorema de Pitágoras y el ángulo cumple $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
De polar a binómica: forma trigonométrica
Si ya tienes $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría de triángulo rectángulo: el cateto contiguo es $a = r\cos\alpha$ y el opuesto es $b = r\operatorname{sen}\alpha$.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Conjugado y opuesto en forma polar
En binómica, conjugar cambia el signo de $b$ y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja respecto al eje real y el opuesto gira media vuelta.
Los ángulos negativos o mayores de $360^\circ$ se llevan al intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ sumando o restando vueltas completas.
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y…
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
Producto, cociente y potencias
Aquí la forma polar luce. Al multiplicar $r(\cos\alpha+i\operatorname{sen}\alpha)$ por $s(\cos\beta+i\operatorname{sen}\beta)$ y usar las fórmulas del seno y coseno de una suma, los módulos se multiplican y los ángulos se suman.
Multiplicar por $w=1_{60^\circ}$ no cambia la distancia al origen y suma $60^\circ$ al ángulo: es un giro de $60^\circ$. Así se responde la pregunta del videojuego.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de…
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de Ohm para corriente alterna establece que la intensidad es $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensidad $I$ en forma polar y exprésala posteriormente en forma binómica.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la…
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la segunda es $z_2 = 2_{135^\circ}$, halla en forma trigonométrica el resultado de $z_1 \times z_2^2$.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \times z_2 = 18_{60^\circ}$.…
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \times z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa ambos números en forma polar.
Raíces de un número complejo
Si $w^n=z$, por Moivre $w$ tiene módulo $\sqrt[n]{r}$ y ángulo $n\cdot\arg(w)=\alpha+360^\circ k$. Cada valor de $k$ da un ángulo distinto hasta que se repiten.
Esto también resuelve ecuaciones como $z^4+81=0$: se escribe $z^4=-81=81_{180^\circ}$ y se buscan sus cuatro raíces cuartas.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano…
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano complejo.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del…
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a…
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a los afijos de las raíces quintas del número complejo $z = 100000_{0^\circ}$. Demuestra matemáticamente, utilizando las propiedades de los números complejos en forma polar, que la fuerza resultante es nula.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Problemas combinados
A veces conviene usar binómica para sumar y polar para multiplicar. Para sumar vectores, convierte cada uno a binómica, suma las partes reales y las imaginarias, y si hace falta regresa a polar.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento,…
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión…
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.