Ecuaciones de la recta en el plano
Un dron de vigilancia sobrevuela la Ciudad de México en línea recta, y el sistema de control lo describe con una ecuación; en el examen de la UNAM o del IPN esa misma recta aparece escrita de otra forma. No son rectas distintas: es la misma recta con distintos «disfraces». Si entiendes de dónde sale cada forma, pasar de una a otra es mecánico.
La recta como un punto y una dirección: ecuación vectorial
Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.
Escribe la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $A(3, -2)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (-1, 4)$.
Separando en $x$ e $y$: ecuaciones paramétricas
Cortes con los ejes desde las paramétricas
Un punto está sobre el eje $X$ cuando $y=0$ y sobre el eje $Y$ cuando $x=0$. Con paramétricas, impones esa condición, despejas $t$ y lo sustituyes en la otra coordenada.
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en…
Un dron de vigilancia se desplaza en línea recta y a velocidad constante desde el punto $A(10, 20)$ hasta el punto $B(50, 80)$, estando las coordenadas medidas en metros. Escribe las ecuaciones paramétricas de su trayectoria e indica cuáles serán sus coordenadas cuando haya recorrido exactamente la mitad del trayecto.
Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Determina en qué puntos exactos la tubería cruza…
Una tubería subterránea sigue la trayectoria dada por las ecuaciones paramétricas $x = -5 + 2t$, $y = 12 - 3t$ (en km). Determina en qué puntos exactos la tubería cruza los ejes de coordenadas.
Eliminando el parámetro: ecuación continua
Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.
Comprueba si los puntos $M(4, -3)$ y $N(1, 2)$ pertenecen a la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2}$.
Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.
Dada la recta en ecuaciones paramétricas $x = 2 - 3t$, $y = 1 + 5t$, exprésala en forma continua y en forma general.
Quitando denominadores: ecuación general
Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.
Escribe las ecuaciones implícitas de la recta horizontal que pasa por el punto $H(-7, 4)$ y de la recta vertical que pasa por el punto $V(3, -9)$.
Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.
Dada la ecuación implícita $5x + 7y - 11 = 0$, indica un vector director, un vector normal y un punto por el que pase la recta.
Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.
Halla la ecuación general de la recta que pasa por el punto $A(-4, 6)$ y es paralela a la recta que une los puntos $B(1, 1)$ y $C(3, -5)$.
Pendiente-ordenada al origen y punto-pendiente
Antes de despejar nada, pensemos en la proporcionalidad directa. Si dos variables son directamente proporcionales, su cociente es constante: $\dfrac{y}{x}=m$, es decir, $y=mx$. Su gráfica es una recta que pasa por el origen, y $m$ es la pendiente: lo que aumenta $y$ por cada unidad que aumenta $x$.
Si además hay una cantidad fija desde el inicio, la recta se desplaza $b$ unidades hacia arriba y queda $y=mx+b$. Por ejemplo, si una torta cuesta $\$45$ y el envío cuesta $\$20$ fijos, el total de $x$ tortas es $y=45x+20$: la parte $45x$ es proporcional y los $\$20$ son el desplazamiento.
Determina la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.
Determina la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación general es $4x - 2y + 8 = 0$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(-1, 5)$ y $Q(2, -1)$.
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.
Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tiene una pendiente $m = -\frac{3}{5}$.
El costo de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $9\,000$ pesos, y fabricar $250$ unidades cuesta $16\,500$…
El costo de producción de un componente electrónico sigue un modelo lineal. Fabricar $100$ unidades cuesta $9\,000$ pesos, y fabricar $250$ unidades cuesta $16\,500$ pesos. Determina la ecuación explícita que relaciona el costo $y$ con el número de unidades $x$, y calcula el costo fijo de producción (el costo cuando se fabrican $0$ unidades).
Forma simétrica
Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $2x + 5y - 20 = 0$ con los ejes de coordenadas cartesianas.
Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma…
Demuestra que si una recta corta a los ejes de coordenadas en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$, con $a \neq 0$ y $b \neq 0$, su ecuación se puede escribir en la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$. Utiliza este resultado para hallar la ecuación de una recta que forma con los ejes cartesianos un triángulo de área $12 \text{ u}^2$ sabiendo que $a = 2b$ y que ambos interceptos son positivos.
Pasar de una forma a otra
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $3x - ky + 5 = 0$ pase por el punto $P(-2, 1)$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de la recta en forma continua.
En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en metros). Halla la…
En el diseño de un puente colgante, uno de los cables tensores de acero debe unir el punto de anclaje $P(0, 15)$ con la base $Q(40, 0)$ (coordenadas en metros). Halla la ecuación general de la recta que define el cable y determina a qué altura se encuentra cuando la distancia horizontal desde el eje $Y$ es de $16$ metros.
Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.
Expresa la recta $y = -\frac{1}{4}x + 2$ en forma vectorial y encuentra tres puntos distintos que pertenezcan a ella, donde al menos uno tenga abscisa negativa.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta dada en forma paramétrica $x = a + 2t$, $y = 3 - bt$ represente la misma recta que la ecuación general $4x + 3y - 10 = 0$.
Problemas con rectas
Aquí combinas formas y otras ideas: intersección de rectas (resolver un sistema), distancia entre puntos, reflejos, paralelismo (misma pendiente) y haces de rectas.
Distancia entre dos puntos
Para clasificar un triángulo por sus lados necesitas medirlos. La distancia entre $P(x_1,y_1)$ y $Q(x_2,y_2)$ sale del teorema de Pitágoras: el segmento $PQ$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $|x_2-x_1|$ y $|y_2-y_1|$.
Reflejo de un punto en el eje $X$
Un rayo de luz que rebota en un espejo cumple que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Para un espejo sobre el eje $X$ hay un truco: el reflejo de $B(x,y)$ es $B'(x,-y)$, y el rayo reflejado parece venir en línea recta desde $B'$. Así, el camino $A\to$ rebote $\to B$ equivale a la recta $AB'$, y el punto de rebote es donde esa recta corta al eje $X$.
Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el…
Un rayo láser parte del punto $A(2, 5)$, incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje de abscisas, se refleja y pasa por el punto $B(8, 3)$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla las ecuaciones de las rectas que contienen al rayo incidente y al rayo reflejado, y el punto exacto de rebote en el espejo.
Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y…
Los lados de un triángulo están contenidos en las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$, $s: 3x + y - 9 = 0$ y $t: x + 5y + 4 = 0$. Calcula las coordenadas de sus tres vértices y decide, calculando las longitudes de sus lados, de qué tipo de triángulo se trata.
Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$,…
Dos aviones se mueven en el plano de un radar. El avión $A$ sigue la trayectoria $x = 2 + 3t$, $y = 1 + 4t$, y el avión $B$ sigue la trayectoria $x = 10 - t$, $y = -2 + 5t$ (donde $t$ es el tiempo en minutos y las coordenadas están en km). Determina el punto exacto donde se cruzan sus trayectorias y averigua si los aviones llegan a colisionar (es decir, si pasan por ese punto en el mismo instante $t$).
Haz de rectas
Un haz de rectas es la familia de todas las rectas que pasan por un mismo punto, llamado centro del haz. Si dos rectas $r: A_1x+B_1y+C_1=0$ y $s: A_2x+B_2y+C_2=0$ se cortan en un punto $P$, el haz con centro en $P$ es
$$(A_1x+B_1y+C_1)+k\,(A_2x+B_2y+C_2)=0, \qquad k\in\mathbb{R}$$¿Por qué? En $P$ las dos expresiones valen $0$, así que la suma vale $0$ para cualquier $k$: todas las rectas pasan por $P$. Cada valor de $k$ da una recta distinta del haz.
Si te dan un haz con $k$ mezclado en los coeficientes, sepáralo en dos partes: la que no lleva $k$ y la que sí. Las dos partes son rectas, y su intersección es el centro.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas $r: 2x - y + 5 = 0$ y $s: x + 3y - 1 = 0$, y que forma con los semiejes negativos de…
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas $r: 2x - y + 5 = 0$ y $s: x + 3y - 1 = 0$, y que forma con los semiejes negativos de coordenadas un triángulo isósceles.
Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$…
Dado el punto $P(3, 4)$ y la recta $r: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de un punto $Q$ situado sobre el eje de ordenadas de manera que la recta que une $P$ y $Q$ tenga la misma ordenada al origen que la recta $r$.
Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas…
Considera el haz de rectas determinado por la ecuación $(2 + k)x + (1 - 2k)y + (3k - 4) = 0$. Halla el centro del haz (el punto por el que pasan todas las rectas independientemente del valor de $k$) y determina el valor de $k$ para el cual la recta del haz tiene una pendiente de $\frac{3}{5}$.
Vuelve al principio: la trayectoria del dron se escribe en paramétricas, y esa misma recta se puede pasar a general o a pendiente-ordenada al origen; es la misma recta con otro disfraz.