Combinatoria
Ximena olvidó la clave de 4 dígitos del candado de su bicicleta. Si probara una por una, ¿cuántas claves tendría que revisar como máximo? Contar sin escribir todas las posibilidades es justo lo que hace la combinatoria: identificas qué tipo de conteo es y aplicas su fórmula.
El principio multiplicativo y las variaciones con repetición
Si una elección se hace en varias etapas, y la etapa 1 tiene $n_1$ opciones, la etapa 2 tiene $n_2$, y así sucesivamente, el total de resultados es el producto $n_1 \times n_2 \times \cdots$. Es el principio multiplicativo: cada opción de una etapa se combina con todas las de la siguiente.
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero,…
Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está…
Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.
Variaciones sin repetición: elegir y ordenar
Ahora cada elemento usado ya no está disponible. Si de $n$ elementos eliges $k$ en orden, la primera posición tiene $n$ opciones, la segunda $n-1$, y así hasta $n-k+1$.
En las ecuaciones con $V_{n,k}$ conviene escribir cada variación como producto de factores y simplificar los factores comunes.
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y…
Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas…
Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$: $3 \times V_{n, 3} = 4 \times V_{n-1, 3}$
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$:
$3 \times V_{n, 3} = 4 \times V_{n-1, 3}$
Permutaciones: ordenar todos los elementos
Ordenar los $n$ elementos de un conjunto, todos a la vez, es un caso de variación con $k=n$: $P_n = n!$.
Si hay elementos repetidos ($n_1$ de un tipo, $n_2$ de otro, …), intercambiar dos iguales no produce un orden nuevo, así que se divide entre las ordenaciones internas de cada tipo.
Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.
Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.
Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.
Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra…
Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.
Ordenar con condiciones: elementos juntos y mesas circulares
Elementos que deben ir juntos. Trátalos como un solo bloque, ordena los bloques y después multiplica por las formas de ordenar dentro del bloque.
Mesas circulares. Si solo importa quién queda junto a quién (girar a todos no cambia la disposición), se fija a una persona y se ordenan las demás: $n$ personas se sientan de $(n-1)!$ formas.
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas…
Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.
Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo…
Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.
Combinaciones: elegir sin ordenar
Cuando solo importa qué elementos se eligen y no el orden, se usan combinaciones. Cada grupo de $k$ elementos aparece $k!$ veces en las variaciones, por eso se divide entre $k!$.
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de…
Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas.…
En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.
Varios grupos, «al menos» y repartos
En problemas reales se combinan técnicas. Elegir $k$ de un grupo y $j$ de otro: se multiplican las combinaciones. Casos alternativos que no ocurren a la vez: se suman.
Repartir personas en grupos con nombre. Se eligen los integrantes del primer grupo, luego los del segundo entre los que quedan, etc.
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos…
Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos…
Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas…
La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.
Caminos en cuadrícula y repartos con ceros
Caminos mínimos. En una cuadrícula, para ir de $(0,0)$ a $(a,b)$ solo avanzas a la derecha ($D$) o hacia arriba ($A$), con $a$ pasos $D$ y $b$ pasos $A$ en total. Cada camino es una forma de ordenar esas letras: $C_{a+b,\,a}$.
Repartir objetos iguales (con ceros permitidos). Repartir $m$ objetos idénticos en $r$ cajas equivale a ordenar $m$ objetos y $r-1$ separadores: $C_{m+r-1,\;r-1}$.
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$,…
En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.
Un inversionista desea repartir $200\,000$ pesos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $20\,000$ pesos…
Un inversionista desea repartir $200\,000$ pesos entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $20\,000$ pesos (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ pesos en alguna de ellas), determina de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.
Combinatoria y probabilidad
Con eventos igualmente probables, la regla de Laplace dice $P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$. La combinatoria sirve para contar ambos.
Si se extrae sin reemplazo y el orden no importa, se cuentan grupos con combinaciones: casos posibles $C_{N,n}$ y favorables, el producto de combinaciones de cada tipo.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que…
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.
Probabilidad con varios tipos de elementos
Cuando hay varios tipos (colores, valores de carta, piezas buenas y malas), los casos favorables se arman eligiendo cuántos de cada tipo y multiplicando. Si el evento incluye varios casos ("como máximo", "al menos"), se suman.
Vuelve al principio: el candado de Ximena tiene $10^4 = 10{,}000$ claves posibles. Si prueba una al azar, la probabilidad de acertar a la primera es $\dfrac{1}{10{,}000}$.
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de…
Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el…
En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un…
Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.