Regla de Ruffini (división sintética)
Una fábrica de empaques en Puebla sabe que el volumen de sus cajas es $V(x)=x^3+5x^2+2x-8$ y que la altura es $x-1$. ¿Cómo sacar rápido el área de la base sin hacer toda la división larga? La división sintética (regla de Ruffini) hace lo mismo que la división larga, pero trabajando solo con los coeficientes. Al final de la página resolvemos esta caja.
Mecánica de la división sintética
Se escriben los coeficientes de $P(x)$ en una fila (con un $0$ en cada grado que falte) y, aparte, el número $a$ del divisor $x-a$. Se baja el primer coeficiente. Cada número siguiente de la fila de abajo se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y sumando el coeficiente de su columna.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la división sintética (regla de Ruffini) e indica el cociente y el residuo…
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la división sintética (regla de Ruffini) e indica el cociente y el residuo resultantes.
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del…
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Encuentra el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando división sintética (regla de Ruffini).
Encuentra el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando división sintética (regla de Ruffini).
Evaluar polinomios y confirmar raíces
El último número de la tabla es el residuo, y por el teorema del residuo el residuo de dividir entre $x-a$ es $P(a)$. Así, la división sintética sirve para calcular el valor numérico de un polinomio sin sustituir término a término, y para ver si un número es raíz: si el residuo es $0$, lo es.
Comprueba, utilizando la división sintética (regla de Ruffini), si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprueba, utilizando la división sintética (regla de Ruffini), si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante división sintética (regla de Ruffini).
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante división sintética (regla de Ruffini).
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la división sintética (regla de Ruffini), si el binomio $x + 1$ es un factor del…
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la división sintética (regla de Ruffini), si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Coeficientes fraccionarios, decimales y divisores $cx-a$
La tabla funciona igual con fracciones o decimales: para dividir entre $x-\frac12$ usas $a=\frac12$, y para evaluar en $x=2$ un polinomio con coeficientes como $-2.5$ o $1.5$ haces las mismas multiplicaciones y sumas.
Pero para dividir entre un binomio como $2x-3$, el coeficiente de $x$ no es $1$. Sacamos factor común: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$, aplicamos la tabla con $a=\frac32$ y después dividimos el cociente entre $2$.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la división sintética (regla de Ruffini). Expresa el resultado final…
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la división sintética (regla de Ruffini). Expresa el resultado final indicando cociente y residuo.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la división sintética (regla de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la división sintética (regla de Ruffini).
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la división sintética (regla de Ruffini). Ten en cuenta que debes…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la división sintética (regla de Ruffini). Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.
Buscar raíces y factorizar
Si ya conoces una raíz $a$, la tabla te da el cociente, un factor de grado una unidad menor. Repites con ese cociente hasta llegar a un cuadrático, que factorizas o resuelves con la fórmula general.
¿Y si no te dan la raíz? Si $P(x)$ tiene coeficientes enteros, las raíces racionales $\frac{p}{q}$ cumplen que $p$ divide al término independiente y $q$ divide al coeficiente principal. Pruebas esos candidatos con la tabla.
Si el cociente final es un cuadrático con discriminante negativo, no se factoriza con números reales: es un factor irreducible. Por ejemplo, $x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)$, pues la tabla con $a=1$ da $1,0,1,0$ y $x^2+1$ no tiene raíces reales.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Parámetros a partir de una condición
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido, la condición del problema se convierte en una ecuación: el residuo de la tabla debe valer lo que diga el enunciado. Si es «divisible exactamente», el residuo es $0$. Si dice «deja residuo $5$», el residuo es $5$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
Raíces repetidas: divisible entre $(x-a)^2$
Un polinomio es divisible entre $(x-a)^2$ si $a$ es raíz dos veces: aplicas la tabla con $a$, el residuo debe ser $0$, y luego aplicas otra vez la tabla con $a$ al cociente, donde el residuo también debe ser $0$. Cada residuo te da una ecuación.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Un patrón: $x^n-a^n$ entre $x-a$
Divide $x^3-8$ entre $x-2$: la fila es $1,0,0,-8$ con $a=2$ y la tabla da $1$, $2$, $4$, $0$. El cociente es $x^2+2x+4$ y el residuo es $0$ (claro: $P(2)=0$).
Cada número del cociente es el anterior multiplicado por $a$, porque los ceros no suman nada. Así, los coeficientes son potencias de $a$.
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del…
Aplica la división sintética (regla de Ruffini) para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Problemas con volúmenes, ganancias y movimiento
Volúmenes, ganancias y posiciones se expresan con polinomios. Si el volumen es el producto de tres dimensiones y conoces una, la división sintética te da el producto de las otras dos. Si piden cuándo algo vale cero (ganancia nula, posición en el origen), buscas las raíces del polinomio.
Vuelve al principio: la base de la caja tiene área $x^2+6x+8$, y además sabemos que sus lados miden $x+2$ y $x+4$.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
Las ganancias de una empresa, en miles de pesos, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Las ganancias de una empresa, en miles de pesos, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que la ganancia de la empresa fue nula (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
Ecuaciones e inecuaciones polinómicas
Para resolver $P(x)=0$ de grado $3$ o más, factorizas con la tabla y igualas cada factor a cero. Primero saca factor común si lo hay: en un polinomio sin término independiente, $x$ es factor. Cuando un problema te da una fórmula (por ejemplo, un volumen), pásala a la forma $P(x)=0$ antes de buscar raíces.
Para una inecuación $P(x)\ge0$, factorizas, ubicas las raíces en la recta real y revisas el signo de $P$ en cada intervalo.
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio…
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para encontrar la altura $h$.
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la división sintética (regla de Ruffini) y…
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la división sintética (regla de Ruffini) y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.