Derivadas de funciones usuales

Encuentra la función derivada de la siguiente función exponencial compuesta:

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Determina la derivada de la siguiente función logarítmica compuesta:

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

El número de usuarios activos de una red social emergente, en miles, en función del tiempo $t$ (en meses) viene dado por la expresión $U(t) = 50 e^{0.2t^2 - 0.1t}$. Calcula la tasa de crecimiento instantánea del número de usuarios en el instante $t = 3$ meses.

Calcula la derivada de la siguiente función trigonométrica:

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Aplica reiteradamente la regla de la cadena para hallar la función derivada de la siguiente función trigonométrica:

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Demuestra, utilizando la regla de derivación de un cociente y la identidad fundamental de la trigonometría ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), que la derivada de la función secante $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ es $f'(x) = \tan x \times \sec x$.

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica:

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Aplica la regla de la cadena para derivar la siguiente potencia de una función:

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Calcula la derivada de la función con radical:

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Calcula la derivada de la siguiente función que combina funciones trigonométricas inversas con exponenciales y polinomios:

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

Aplica la regla del producto para determinar la derivada de la función:

$g(x) = x^3 \ln x$

Halla la función derivada del siguiente cociente de funciones:

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Utiliza las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de derivar, y halla la derivada de la función:

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un motor industrial en función del tiempo $t$ (en minutos) tras ser apagado sigue la ley de enfriamiento de Newton, dada por $T(t) = 25 + 85 e^{-0.05t}$. Calcula e interpreta el valor de $T'(10)$, es decir, la velocidad a la que disminuye la temperatura a los 10 minutos.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva definida por $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

El costo total de producción, en pesos, de $q$ unidades de un componente electrónico de alta precisión se modela mediante la función $C(q) = \frac{4\,000q^2 + 10\,000}{q+2}$. Calcula el costo marginal $C'(q)$ cuando se producen exactamente $q = 10$ unidades.

Encuentra la expresión general para la derivada enésima (de orden $n$) de la función $f(x) = \ln(2x - 1)$.

En un modelo epidemiológico, la proporción de población infectada por un virus a lo largo del tiempo $t$ (en semanas) sigue una curva logística dada por $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0.5t}}$. Calcula la tasa de cambio de la infección $I'(t)$ y determina en qué semana la enfermedad se propaga con mayor rapidez (es decir, el punto de inflexión donde $I''(t) = 0$).