Ejercicios de derivadas
Ximena prepara su examen de Cálculo y se topa con una función como $\dfrac{x^2}{x-3}$. Se sabe todas las reglas, pero no sabe por cuál empezar ni cómo dejar el resultado limpio. En esta página aprenderás a mirar una función y decidir de un vistazo qué regla manda, y a simplificar el resultado.
Decidir qué regla se aplica primero
Reglas que usaremos, con $u$ y $v$ funciones de $x$:
| Función | Derivada |
|---|---|
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $u^n$ | $n u^{n-1}\cdot u'$ |
| $u\cdot v$ | $u'v + uv'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
Determina la derivada de la función racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.
Determina la derivada de la función racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.
La segunda derivada
La derivada de una función es otra función, así que también se puede derivar. A la derivada de $f'$ se le llama segunda derivada y se escribe $f''(x)$. Se deriva dos veces, una tras otra, aplicando las reglas de siempre.
¿Para qué sirve? Si $s(t)$ es la posición, $s'$ es la velocidad y $s''$ es la aceleración. En una gráfica, el signo de $f''$ indica hacia dónde se curva: si $f''>0$ es cóncava hacia arriba, y si $f''<0$, hacia abajo.
Calcula la primera y la segunda derivada de la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.
Calcula la primera y la segunda derivada de la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.
Cadenas y potencias
Cuando la función es una expresión elevada a una potencia, se aplica la regla de la cadena: se deriva de fuera hacia dentro, capa por capa, sin saltarse ninguna.
Calcula la derivada de la función $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando la regla de la cadena.
Simplificar el resultado
Vuelve al principio: para $\dfrac{x^2}{x-3}$ manda el cociente, y el resultado simplificado queda $\dfrac{x(x-6)}{(x-3)^2}$.
Costo marginal
Cuando una función describe una cantidad que depende de la producción, su derivada es una tasa de cambio. El costo marginal es la derivada del costo total: aproxima cuánto cuesta producir una pieza más.
Ampliación: raíces y potencias fraccionarias
Una raíz se puede ver como una potencia: $\sqrt{u}=u^{1/2}$ y $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$. Con la cadena sale la regla $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
Un costo con raíz, como el de las sudaderas del viaje de graduación, se deriva igual: el costo marginal es la derivada de $C(x)$, y aquí cociente y cadena trabajan juntos.
Obtén la derivada de la función irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.
Obtén la derivada de la función irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expresa el resultado en forma de potencia fraccionaria o raíz.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expresa el resultado en forma de potencia fraccionaria o raíz.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ y simplifica el resultado lo máximo posible, expresándolo con un único denominador.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ y simplifica el resultado lo máximo posible, expresándolo con un único denominador.
El costo total en pesos de producir $x$ sudaderas personalizadas para el viaje de graduación está dado por $C(x) = \frac{3\,000x}{\sqrt{x^2+100}} + 4\,000$. Calcula la…
El costo total en pesos de producir $x$ sudaderas personalizadas para el viaje de graduación está dado por $C(x) = \frac{3\,000x}{\sqrt{x^2+100}} + 4\,000$. Calcula la función de costo marginal $C'(x)$.
Ampliación: exponenciales, logaritmos y trigonométricas
Reglas, con $u$ función de $x$:
| Función | Derivada |
|---|---|
| $e^u$ | $e^u \cdot u'$ |
| $a^u$ | $a^u \ln a \cdot u'$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
| $\operatorname{sen} u$ | $\cos u \cdot u'$ |
| $\cos u$ | $-\operatorname{sen} u \cdot u'$ |
| $\operatorname{arcsen} u$ | $\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ |
El plan de ataque es el mismo: primero la operación exterior, luego las capas interiores.
Obtén la derivada de la función $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.
Obtén la derivada de la función $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.
Halla la derivada de la función trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.
Halla la derivada de la función trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atención a la aplicación sucesiva de la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atención a la aplicación sucesiva de la regla de la cadena.
Dada la función $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula su derivada y evalúala en el punto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.
Dada la función $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula su derivada y evalúala en el punto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.
La intensidad de la corriente en un circuito de corriente alterna fluctúa según la función $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula…
La intensidad de la corriente en un circuito de corriente alterna fluctúa según la función $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la derivada $I'(t)$ aplicando la regla del cociente y la regla de la cadena.
Ampliación: derivadas como tasas en ciencias
La carga eléctrica que atraviesa un circuito en función del tiempo viene dada por la expresión $q(t) = 5t e^{-0.2t}$ culombios. Calcula la intensidad de corriente…
La carga eléctrica que atraviesa un circuito en función del tiempo viene dada por la expresión $q(t) = 5t e^{-0.2t}$ culombios. Calcula la intensidad de corriente $I(t) = q'(t)$ y determina en qué instante exacto la intensidad es nula.
La población de una especie de alga marina en millones de individuos sigue la función $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Determina la…
La población de una especie de alga marina en millones de individuos sigue la función $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Determina la tasa de crecimiento instantánea de la población en la tercera semana ($t=3$).
La ley de enfriamiento de un material cerámico en un horno industrial sigue la función $T(t) = 20 + 800 e^{-0.05t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$…
La ley de enfriamiento de un material cerámico en un horno industrial sigue la función $T(t) = 20 + 800 e^{-0.05t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ el tiempo en minutos. Calcula la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo, $T'(t)$, y determina cuánto tiempo debe transcurrir para que la temperatura descienda a un ritmo exacto de $10^\circ \text{C/min}$.
Ampliación: retos
Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación, que la derivada de la función $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ es…
Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación, que la derivada de la función $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ es $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.
Calcula la derivada enésima de la función $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresa el resultado $f^{(n)}(x)$ mediante una fórmula general que dependa de $n$.
Calcula la derivada enésima de la función $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresa el resultado $f^{(n)}(x)$ mediante una fórmula general que dependa de $n$.
Dadas dos funciones derivables $g(x)$ y $h(x)$, se define una nueva función $f(x) = g(h(x^2))$. Sabiendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ y $g'(2) = -4$, calcula…
Dadas dos funciones derivables $g(x)$ y $h(x)$, se define una nueva función $f(x) = g(h(x^2))$. Sabiendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ y $g'(2) = -4$, calcula el valor exacto de $f'(1)$ detallando los pasos de la regla de la cadena.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que la función $f(x) = a e^{bx}$ cumpla simultáneamente que $f(0) = 3$ y que su derivada segunda…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que la función $f(x) = a e^{bx}$ cumpla simultáneamente que $f(0) = 3$ y que su derivada segunda evaluada en el origen sea $f''(0) = 12$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ y simplifica la expresión resultante al máximo.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ y simplifica la expresión resultante al máximo.
Calcula la derivada de la siguiente función, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \times \ln(x^2 + 4)$.
Calcula la derivada de la siguiente función, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \times \ln(x^2 + 4)$.
Demuestra, calculando la derivada y estudiando su signo, que la función $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ es estrictamente creciente en todo su dominio.
Demuestra, calculando la derivada y estudiando su signo, que la función $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ es estrictamente creciente en todo su dominio.