Derivada de un polinomio

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica: $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 7x^2 - 2x + 9$.

Calcula la derivada de la función $p(x) = (2x^2 - 3)(x + 4)$ realizando primero el producto de los polinomios.

Dada la función que describe la trayectoria de una partícula $s(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos, determina la expresión de su velocidad instantánea $v(t)$.

Halla el valor de la derivada de la función $g(x) = -2x^3 + 4x^2 - x + 5$ en el punto de abscisa $x = -1$.

Determina la pendiente de la recta tangente a la curva $y = x^3 - 5x + 2$ en el punto donde interseca al eje de ordenadas.

El perfil de un cable de un puente colgante se aproxima mediante la parábola $y = 0.01x^2 - 0.6x + 15$, donde $x$ e $y$ se miden en metros. Calcula la pendiente del cable en el punto situado a $40$ metros del origen.

Determina los puntos singulares (aquellos donde la derivada se anula) de la función cuadrática $h(x) = 3x^2 - 12x + 7$.

Encuentra las coordenadas de los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + x - 1$ en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

Halla la abscisa de los puntos de la curva $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$ donde la recta tangente forma un ángulo de $45^\circ$ con el semieje positivo de abscisas.

Calcula la segunda derivada, $f''(x)$, de la función polinómica $f(x) = x^5 - 4x^4 + 2x^2 - 8$.

Dos vehículos de prueba se desplazan en línea recta. Sus posiciones respecto a un punto de referencia vienen dadas por $s_1(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y $s_2(t) = 2t^2 - 4t + 10$, con $t \ge 0$ en segundos y $s$ en metros. Determina en qué instantes de tiempo ambos vehículos circulan con la misma aceleración y calcula la distancia que los separa en ese momento.

Determina los coeficientes $a, b, c, d$ de la función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que pasa por el origen de coordenadas, tiene un punto singular en $x = 2$ y presenta un punto de inflexión en $(1, -2)$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la función $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ en su vértice.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la parábola $y = ax^2 + bx + 5$ pase por el punto $(1, 2)$ y tenga en ese punto una recta tangente con pendiente igual a $-1$.

Halla la ecuación de una parábola de la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que es tangente a la recta $y = -2x + 5$ en el punto de abscisa $x = 1$ y que pasa por el punto $(-1, 15)$.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y = x^2 - 2x + 3$ que pasan por el punto exterior $P(1, -2)$.

El costo de producción, en pesos, de fabricar $x$ unidades de un producto artesanal está dado por $C(x) = 3\,000 + 240x - 1x^2$. Halla la función de costo marginal, $C'(x)$.

El número de usuarios registrados en una aplicación de productividad, en miles, evoluciona según la función $U(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 200$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Determina la tasa de crecimiento del número de usuarios en el instante $t = 5$ meses e indica si en ese momento el ritmo de crecimiento está aumentando o disminuyendo.

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = -4.9t^2 + 29.4t + 1.5$. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima sabiendo que en dicho punto su velocidad instantánea es nula.

El nivel de contaminación acústica en un cruce urbano desde las 8:00 hasta las 18:00 horas se modeliza mediante la función $N(t) = 0.1t^3 - 1.5t^2 + 6t + 60$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde las 8:00. Determina el instante $t$ en el que el nivel de ruido disminuye más rápidamente.

Una empresa fabrica y vende $x$ unidades de un artículo tecnológico. La función de ingresos está dada por $I(x) = 1200x - 2x^2$ y la función de costos totales es $C(x) = x^3 - 15x^2 + 400x + 1500$. Determina el número de unidades que deben producirse para maximizar el beneficio y calcula dicho beneficio máximo.

Un estudio medioambiental modeliza la concentración de un contaminante en un lago mediante la función $C(t) = -0.05t^4 + 0.8t^3 - 3.6t^2 + 10$, donde $t$ representa los meses transcurridos desde el inicio del año. Averigua en qué meses la concentración del contaminante está aumentando y en cuáles está disminuyendo.

Demuestra matemáticamente que la función polinómica $f(x) = x^3 + 2x + 5$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$ y, por tanto, no posee ninguna recta tangente que sea paralela al eje de abscisas.

Dadas las parábolas $f(x) = x^2$ y $g(x) = -x^2 + 8x - 16$, determina las ecuaciones de todas las rectas que son tangentes a ambas curvas simultáneamente.