Operaciones con números complejos en forma polar
Un dron gira $90^\circ$ y se aleja al doble de distancia. En forma binómica, calcular su nueva posición obliga a desarrollar productos. En forma polar basta multiplicar dos números y sumar dos ángulos. Por eso, cuando hay que elevar a una potencia alta o sacar raíces, se usa la forma polar.
Una nota de notación: aquí escribimos $r\angle\theta$ para el complejo de módulo $r$ y argumento $\theta$. Algunos enunciados lo escriben con subíndice, $r_\theta$, y significa lo mismo.
Producto y cociente: módulos y argumentos por separado
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Dados los números complejos $z_1 = 4_{30^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcula su producto $z_1 \times z_2$ expresando el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Calcula el cociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ y expresa el resultado en forma polar.
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar: $$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$
Realiza la siguiente operación combinada y expresa el resultado en forma polar:
$$ \frac{2_{20^\circ} \times 6_{70^\circ}}{4_{40^\circ}} $$Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar…
Un barco navega en la dirección y distancia indicadas por el vector asociado al número complejo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, el capitán decide realizar un giro de $90^\circ$ en sentido antihorario manteniendo la misma distancia. ¿Por qué número complejo en forma polar debe multiplicar $z$ para obtener su nueva trayectoria, y cuál es la posición final?
Conjugado y opuesto en forma polar
Si $z=r\angle\alpha$, el conjugado $\bar z$ es su reflejo respecto al eje real: mismo módulo y ángulo contrario. El opuesto $-z$ es su reflejo respecto al origen: mismo módulo y ángulo $180^\circ$ más.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Dado el número complejo $z = 3_{50^\circ}$, expresa su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$ en forma polar.
Sumar complejos: pasar de polar a binómica y volver
El producto y el cociente son fáciles en polar, pero la suma no: no se pueden sumar módulos ni argumentos. Para sumar o restar, se pasa a forma binómica $a+bi$, se suman las partes real e imaginaria y, si hace falta, se regresa a polar.
Esto sirve en electricidad: en un circuito en paralelo, $\dfrac1{Z_T}=\dfrac1{Z_1}+\dfrac1{Z_2}$. Se invierte cada impedancia en polar, se pasan a binómica, se suman y se vuelve a invertir.
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula…
En un circuito de corriente alterna, la impedancia total $Z_T$ de dos componentes conectados en paralelo se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Si las impedancias de los componentes son $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ y $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, halla la impedancia total $Z_T$ en forma polar. Pista: pasa a forma binómica para realizar la suma.
Fórmula de Moivre: potencias en polar
Elevar a una potencia es multiplicar varias veces. Al aplicar $n$ veces la regla del producto, el módulo se multiplica $n$ veces por sí mismo ($r^n$) y el argumento se suma $n$ veces consigo mismo ($n\alpha$).
Moivre para obtener identidades trigonométricas
La fórmula de Moivre da dos expresiones del mismo número: una desarrollando el binomio y otra con el ángulo multiplicado. Dos complejos son iguales si coinciden sus partes reales y sus partes imaginarias, así que igualándolas salen identidades.
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Utilizando la fórmula de Moivre, calcula la potencia $(2_{40^\circ})^3$ y expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Calcula el valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para ello, transforma primero la base a forma polar, aplica la fórmula de Moivre y devuelve el resultado final en forma binómica.
Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
Determina el menor número entero positivo $n$ para que el resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ sea un número real negativo.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la potencia $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir del resultado, igualando las partes reales e imaginarias, demuestra las identidades trigonométricas del ángulo triple:
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$\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$
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$\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$
El inverso: módulo inverso, argumento opuesto
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Halla el inverso del número complejo $z = 5_{120^\circ}$ expresando el resultado final en forma polar.
Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en…
Un dron de exploración submarina parte del origen y se desplaza en línea recta hasta el punto correspondiente al afijo del número complejo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (en kilómetros). A continuación, el centro de control le envía una instrucción que equivale a multiplicar su posición actual por el complejo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcula las coordenadas polares de su posición final y explica qué transformación geométrica ha sufrido respecto a su vector de posición inicial.
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar: $$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$
Efectúa la siguiente operación con números complejos expresando el resultado final en forma polar:
$$ \frac{(2_{30^\circ})^4 \times \sqrt{3}_{150^\circ}}{4_{60^\circ}} $$Raíces n-ésimas: $n$ soluciones en un polígono regular
La ecuación $x^2=4$ tiene dos soluciones reales, $\pm2$. En los complejos, $z^n = w$ tiene exactamente $n$ soluciones, y sus afijos son los vértices de un polígono regular de $n$ lados centrado en el origen.
Ecuaciones con un desplazamiento: $(z-a)^n=w$
Si la ecuación tiene la forma $(z-a)^n=w$, se llama $u=z-a$, se resuelve $u^n=w$ con las raíces n-ésimas y al final se despeja $z=a+u$. Geométricamente, el polígono de las raíces queda trasladado: su centro ya no es el origen, sino el punto $a$.
Lado, perímetro y área del polígono
Dos vértices consecutivos y el origen forman un triángulo isósceles: dos lados miden $R$ (el módulo de las raíces) y el ángulo entre ellos es $\frac{360^\circ}{n}$. Si trazas la altura, el triángulo se parte en dos triángulos rectángulos con ángulo $\frac{180^\circ}{n}$ y hipotenusa $R$. La mitad del lado es el cateto opuesto: $R\operatorname{sen}\frac{180^\circ}{n}$.
Para el área, el polígono se reparte en $n$ triángulos iguales con vértice en el origen. Cada uno tiene área $\frac12R\cdot R\operatorname{sen}\frac{360^\circ}{n}$ (dos lados y el ángulo entre ellos).
Esta misma fórmula del lado sirve para la distancia entre dos aviones en un triángulo equilátero ($n=3$): $\ell=2R\operatorname{sen}60^\circ=R\sqrt3$.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las dos raíces cuadradas del número complejo $16_{120^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en…
Resuelve la ecuación $z^3 = -8i$. Pasa primero el número $-8i$ a forma polar antes de calcular las raíces y expresa los resultados finales tanto en forma polar como en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje…
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ en el conjunto de los números complejos. Expresa las soluciones en forma polar y represéntalas gráficamente en el plano complejo (eje real horizontal y eje imaginario vertical).
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Halla el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de las raíces cúbicas del número complejo $z = 64_{90^\circ}$.
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si…
Un radar de tráfico aéreo detecta tres aviones cuyas posiciones forman un triángulo equilátero centrado en la torre de control (situada en el origen de coordenadas). Si uno de los aviones se encuentra en la posición descrita por el número complejo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (en kilómetros), determina la posición de los otros dos aviones en forma polar y calcula la distancia en línea recta que separa a dos aviones cualesquiera.
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma…
Un sistema de encriptación genera claves basadas en las coordenadas de los afijos de las soluciones de la ecuación $z^5 + 32 = 0$. Calcula todas las soluciones en forma polar y determina el perímetro del polígono regular que forman.
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
Resuelve la ecuación $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresa las cuatro soluciones de $z$ en forma binómica.
Ecuaciones con complejos: combinar las reglas
Los ejercicios difíciles mezclan todo lo anterior. La estrategia es igualar módulos y argumentos por separado, recordando que dos argumentos son iguales si difieren en un múltiplo de $360^\circ$.
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$.…
En el diseño del software de un brazo robótico, la posición final del efector se calcula aplicando una rotación y un escalado a su posición inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformación equivale a multiplicar $z_0$ por la raíz cúbica del número complejo $W = 27_{150^\circ}$ que tiene su argumento en el primer cuadrante. Determina la posición final del efector en forma polar y el ángulo total de rotación aplicado respecto a la posición inicial.
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones: Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a…
Halla dos números complejos $z_1$ y $z_2$ en forma polar sabiendo que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:
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Su cociente $\frac{z_1}{z_2}$ es igual a $2_{150^\circ}$
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Su producto $z_1 \times z_2$ es igual a $18_{90^\circ}$
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión…
Calcula la suma de las seis raíces sextas de la unidad ($z^6 = 1$). Justifica tu respuesta de dos formas distintas: algebraicamente (utilizando la suma de una progresión geométrica o las propiedades de las raíces) y geométricamente (interpretando los afijos como vectores).
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.
Determina todos los números complejos $z$ expresados en forma polar que cumplen la ecuación $z^3 = (\bar{z})^2$, donde $\bar{z}$ es el conjugado de $z$.
Vuelve al principio: girar $90^\circ$ y duplicar la distancia equivale a multiplicar por $2\angle90^\circ$, es decir, sumar $90^\circ$ al argumento y duplicar el módulo.