Operaciones con fracciones algebraicas
Una cisterna se llena con dos mangueras: una tarda $x$ horas sola y la otra $x+3$ horas. ¿Qué parte de la cisterna llenan juntas en una hora? La respuesta es una suma de fracciones algebraicas, y se maneja igual que $\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}$: con común denominador. Lo que cambia es que, en lugar de factores primos, vas a factorizar polinomios. Al final resolveremos este problema.
Simplificar factorizando numerador y denominador
Simplificar una fracción algebraica es cancelar los factores que el numerador y el denominador tienen en común. El paso imprescindible es factorizar los dos primero: sin factorizar no hay nada que cancelar, igual que no puedes simplificar $\dfrac{10}{15}$ sin ver que ambos son múltiplos de $5$.
Fíjate en la condición $x\neq-3$: la fracción original no existe cuando el denominador vale $0$, y cancelar no cambia eso.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica factorizando el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Multiplicación y división
Igual que con fracciones numéricas: multiplicar es numerador por numerador y denominador por denominador; dividir es multiplicar por la fracción inversa. Factorizar antes de multiplicar permite cancelar sobre la marcha, sin desarrollar productos grandes.
Esto sirve para áreas. Si el panel solar de una azotea mide de base $b=\dfrac{x^2-4}{x+1}$ m y de altura $h=\dfrac{x+1}{x-2}$ m, su área es $b\cdot h=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x-2}=x+2$ m².
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple: $\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y expresa el resultado en su forma más simple:
$\frac{2x}{x-1} \times \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido: $\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$
Calcula la división de las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado obtenido:
$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$
La base de un panel solar rectangular viene dada por la expresión $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metros, y su altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metros.…
La base de un panel solar rectangular viene dada por la expresión $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metros, y su altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metros. Calcula el área del panel solar expresando el resultado como una única fracción algebraica simplificada.
Suma y resta: mínimo común múltiplo
Con el mismo denominador, se suman los numeradores y el denominador no cambia. Con denominadores distintos hace falta un común denominador: se factoriza cada denominador y se toma el mínimo común múltiplo (mcm), es decir, cada factor distinto con su mayor exponente.
Cuando los denominadores no son tan fáciles
Si un denominador es de grado $3$, busca una raíz entera por división sintética (regla de Ruffini) y factoriza lo que queda. Por ejemplo, $x^3-2x^2-x+2$ tiene raíz $x=1$:
| 1 | −2 | −1 | 2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | −1 | −2 | |
| 1 | −1 | −2 | 0 |
El residuo es $0$ y el cociente es $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Entonces $x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x-2)(x+1)$.
Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador: $\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$
Efectúa la suma de las siguientes fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador:
$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$
Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador: $\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$
Resta las siguientes fracciones algebraicas reduciendo previamente a común denominador:
$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno: $\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas con denominadores de grado uno:
$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$
Efectúa la suma y resta de las siguientes fracciones algebraicas. Utiliza la división sintética (regla de Ruffini) y los productos notables para factorizar previamente…
Efectúa la suma y resta de las siguientes fracciones algebraicas. Utiliza la división sintética (regla de Ruffini) y los productos notables para factorizar previamente los denominadores y hallar el mínimo común múltiplo:
$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$
Operaciones combinadas: la jerarquía
Cuando se mezclan sumas, restas, productos y paréntesis, se respeta la jerarquía de siempre: primero paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), al final sumas y restas.
Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final: $\frac{x^2 - x}{x+1} \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$
Opera la expresión dentro del paréntesis y luego multiplica para simplificar el resultado final:
$\frac{x^2 - x}{x+1} \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$
Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$
Efectúa la siguiente operación combinada de fracciones algebraicas y simplifica al máximo:
$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$
Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifica el resultado al máximo:…
Realiza las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y simplifica el resultado al máximo:
$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$
Fracciones complejas
Una fracción compleja tiene fracciones en su numerador, en su denominador o en ambos. Hay dos caminos: reducir arriba y abajo a una sola fracción y dividir, o multiplicar numerador y denominador por el mcm de los denominadores interiores.
Simplifica la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente: $\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica compleja reduciendo primero el numerador y el denominador de forma independiente:
$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$
Sumas de inversos
A veces una cantidad se define por la suma de inversos: $\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B}$ (así se combinan, por ejemplo, tiempos de trabajo en equipo o las distancias en la fórmula de las lentes). Para hallar $T$ se suma, se simplifica y al final se invierte toda la fracción.
Cuando aparece una suma dentro de otra, trabaja de adentro hacia afuera. Para $x+\dfrac{1}{\frac1x+\frac1{x+1}}$:
La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es…
La fórmula de las lentes delgadas en óptica establece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Si la distancia del objeto al centro óptico es $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ y la distancia de la imagen es $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determina la expresión algebraica simplificada de la distancia focal $f$.
Trabajo, costos y mezclas
Vuelve a la cisterna del inicio. Si una manguera la llena en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac1x$ de la cisterna (su tasa de trabajo). La otra llena $\dfrac{1}{x+3}$. Juntas:
$$\frac1x+\frac1{x+3}=\frac{(x+3)+x}{x(x+3)}=\frac{2x+3}{x(x+3)}$$Esa es la parte de la cisterna que llenan juntas en una hora. Por ejemplo, con $x=3$: $\dfrac{9}{18}=\dfrac12$ de la cisterna por hora (tardan 3 y 6 horas por separado, y juntas $2$ horas). Con esto queda cerrado el gancho inicial.
Dos impresoras 3D industriales fabrican un lote de piezas trabajando en equipo. La primera impresora tarda $x$ horas en completar el trabajo sola, y la segunda tarda…
Dos impresoras 3D industriales fabrican un lote de piezas trabajando en equipo. La primera impresora tarda $x$ horas en completar el trabajo sola, y la segunda tarda $x+3$ horas. La porción del trabajo que realizan juntas en una hora es la suma de sus tasas de trabajo individuales. Escribe y simplifica la fracción algebraica que representa dicha porción de trabajo por hora.
El costo medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de…
El costo medio de producción de un componente electrónico está dado por la expresión $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, donde $x$ es el volumen de producción en miles de unidades. Por un ajuste de subsidios, se le debe restar una tasa representada por la fracción $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcula la nueva expresión del costo medio simplificando previamente la primera fracción.
En un laboratorio de química se tienen dos disoluciones de un mismo ácido. La primera tiene una concentración $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ y la segunda…
En un laboratorio de química se tienen dos disoluciones de un mismo ácido. La primera tiene una concentración $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ y la segunda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Se mezclan volúmenes iguales de ambas disoluciones, por lo que la concentración de la mezcla resultante es la media aritmética de ambas concentraciones, es decir, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtén la expresión algebraica simplificada de la concentración final de la mezcla $C_m$.
Demostrar identidades con fracciones
Para demostrar una igualdad, se trabaja en un solo miembro (normalmente el más complicado) hasta llegar al otro. Se vale factorizar, sumar y simplificar, pero no pasar términos de un lado a otro.
Estas factorizaciones son muy útiles:
Si aparecen factores como $(y-x)$ y $(x-y)$, usa que $y-x=-(x-y)$. Por ejemplo:
$$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-x}=\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x-y}=0$$Con tres variables, el truco es llevar todo a un mismo denominador, por ejemplo $(x-y)(x-z)(y-z)$, cuidando los signos de cada término.
Demuestra que la siguiente igualdad algebraica es cierta para cualquier valor de las variables $x$ e $y$ que no anule los denominadores, desarrollando las operaciones y…
Demuestra que la siguiente igualdad algebraica es cierta para cualquier valor de las variables $x$ e $y$ que no anule los denominadores, desarrollando las operaciones y simplificando el miembro izquierdo:
$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \times \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$
Una lancha motora viaja por un canal desde el embarcadero hasta una boya a una velocidad $v+w$ (donde $w$ es la velocidad de la corriente a favor) y regresa a una…
Una lancha motora viaja por un canal desde el embarcadero hasta una boya a una velocidad $v+w$ (donde $w$ es la velocidad de la corriente a favor) y regresa a una velocidad $v-w$ (corriente en contra). La distancia entre los puntos es $d$. Obtén la expresión simplificada de la velocidad media del recorrido completo, dada por $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, y comprueba si es equivalente a la expresión $\frac{v^2 - w^2}{v}$.
Realiza las operaciones indicadas con tres variables y demuestra que el resultado final se simplifica a un número entero constante:…
Realiza las operaciones indicadas con tres variables y demuestra que el resultado final se simplifica a un número entero constante:
$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$
Descomponer en fracciones simples
A veces hay que hacer lo contrario de sumar: escribir una fracción como suma de fracciones con denominadores más simples. Se plantea la descomposición con letras y se calculan sus valores igualando numeradores.
Cuando aparece un factor cuadrático que no se factoriza, como $x^2+1$, su numerador es de la forma $Bx+C$. Se desarrolla y se igualan coeficientes de $x^2$, $x$ y el término independiente.
Determina los valores numéricos de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que se cumpla la siguiente identidad de descomposición en fracciones simples para todo $x$:…
Determina los valores numéricos de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que se cumpla la siguiente identidad de descomposición en fracciones simples para todo $x$:
$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$
Cociente de diferencias
En cálculo, la rapidez con la que cambia una función se estudia con $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (la variación promedio, base de la regla de los cuatro pasos de la derivada). Aquí lo importante es el álgebra: restar fracciones y cancelar la $h$ del denominador, que aparecerá como factor del numerador.
Si la función tiene varios términos, trabaja cada uno por separado: la parte polinomial, como $x^2$, usa $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$, y la parte fraccionaria se resta como arriba. Después se juntan.
El área superficial de un envase cilíndrico diseñado para minimizar el uso de material plástico viene dada por la expresión $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para…
El área superficial de un envase cilíndrico diseñado para minimizar el uso de material plástico viene dada por la expresión $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para analizar la tasa de cambio del material respecto al radio $x$, un ingeniero necesita calcular y simplificar la expresión del cociente de diferencias $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realiza esta operación y expresa el resultado como una única fracción algebraica simplificada en términos de $x$ y $h$.