El método de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$

Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$

Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por el método de Gauss: "Ana tiene el triple de dinero que Berta. Berta tiene el doble de dinero que Carlos. Entre los tres juntan $540$ pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?"

En una tienda de artículos deportivos se venden tres tipos de balones: de fútbol, de básquetbol y de voleibol. Una escuela compra $2$ balones de fútbol, $1$ de básquetbol y $1$ de voleibol por $1\,600$ pesos. Otra escuela compra $1$ de fútbol, $2$ de básquetbol y $1$ de voleibol por $1\,700$ pesos. Una tercera escuela compra $1$ de fútbol, $1$ de básquetbol y $2$ de voleibol por $1\,500$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss para calcular el precio de cada tipo de balón.

Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.

En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ litros con una concentración del $30\%$. Sabiendo que el volumen utilizado de la solución al $10\%$ debe ser igual al volumen de la solución al $50\%$, plantea y resuelve un sistema mediante el método de Gauss para determinar cuántos litros de cada solución se deben mezclar.

Una empresa invierte un total de $400\,000$ pesos en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rendimientos anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un año, los intereses totales generados ascienden a $19\,600$ pesos. Si el dinero invertido en el fondo al $5\%$ es el doble del invertido en el fondo al $6\%$, calcula qué cantidad se destinó a cada fondo utilizando el método de Gauss.

Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$

Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$

Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$

Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$

Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$

Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$

solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.

$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$

La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá el nieto en ese momento. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de los tres.

En un partido de básquetbol, un equipo anotó un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo que el número de canastas de $2$ puntos es igual a la suma de las canastas de $1$ y $3$ puntos más $5$, encuentra el número de canastas de cada tipo.

Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se sabe que la cifra de las decenas es la media aritmética de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades. Plantea un sistema de ecuaciones y halla el número original.

Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan en $20$ horas. Si trabajan $A$ y $C$, lo terminan en $15$ horas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales (pista: usa como incógnitas la fracción de trabajo que hace cada máquina en una hora) y calcula cuánto tardaría cada máquina en hacer el lote trabajando sola.