Función polinómica

Calcula el valor del parámetro $c$ para que la función cuadrática $f(x) = 4x^2 - 3x + c$ pase por el punto $(-1, 10)$.

Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función polinómica de segundo grado $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 4)$ y $(-1, 6)$.

Encuentra la expresión analítica de la función lineal que pasa por los puntos $A(2, -3)$ y $B(5, 6)$.

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Indica si la parábola dada por la función $g(x) = -3x^2 + 6x - 1$ es cóncava (ramas hacia abajo) o convexa (ramas hacia arriba) y calcula las coordenadas exactas de su vértice.

Dada la función cuadrática $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, determina de forma razonada sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(3, -2)$ y que pasa por el punto $P(5, 6)$. Expresa el resultado en la forma $y = ax^2 + bx + c$.

El cable principal de un puente colgante adopta la forma de una parábola. La distancia horizontal entre las torres de soporte es de $120$ metros y el punto más bajo del cable se encuentra a $20$ metros por debajo del punto de enganche en las torres. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, halla la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30$ metros del centro.

Considera la familia de funciones cuadráticas de la forma $f(x) = x^2 + bx + c$. Sabiendo que la gráfica pasa por el origen de coordenadas y que su vértice se encuentra sobre la recta $y = -x - 2$, encuentra la expresión analítica de la función o funciones que cumplen estas condiciones.

Analiza el comportamiento en el infinito (ramas infinitas) de la función polinómica $f(x) = -2x^4 + 5x^3 - x + 7$, determinando el valor de sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Una función polinómica de tercer grado $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ es impar. Sabiendo que pasa por los puntos $(1, -4)$ y $(2, 4)$, determina su expresión analítica y calcula todos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Calcula analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $p(x) = x^3 - 4x$.

Encuentra las raíces de la función polinómica de segundo grado $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

Encuentra las raíces de la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y estudia su signo en toda la recta real indicando los intervalos donde la función es positiva y negativa.

Halla la expresión analítica de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyas únicas raíces son $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$, sabiendo además que su gráfica corta al eje de ordenadas en el punto $(0, 16)$.

Calcula el conjunto de valores del parámetro $k$ para que la función polinómica $P(x) = x^4 - 2x^2 + k$ tenga exactamente dos raíces reales distintas.

La altura en metros de un dron de observación en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Calcula la altura a la que se encuentra el dron en los instantes $t = 1$ y $t = 3$.

Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando la orilla recta de un río, por lo que no necesita poner valla en ese lado. Expresa el área del huerto en función de la anchura $x$ perpendicular al río y determina las dimensiones que maximizan dicha área.

Se lanza un proyectil hacia arriba de forma que su altura en metros respecto al tiempo en segundos sigue la función $h(t) = -4.9t^2 + 19.6t + 1.5$. Calcula la altura máxima que alcanza el proyectil y el instante de tiempo en el que ocurre.

El precio de venta en pesos de un artículo en función del número de unidades $x$ demandadas en el mercado está dado por la función $p(x) = 2\,400 - 40x$. Escribe la función de ingresos totales $R(x)$ y calcula cuántas unidades deben venderse para maximizar los ingresos.

Una empresa tecnológica vende $x$ unidades de un determinado componente electrónico. El precio unitario de venta modelado en pesos es $p(x) = 4\,000 - 10x$. Los costos totales de producción siguen la función $C(x) = 100\,000 + 400x$. Expresa la función de beneficios $B(x)$, determina el número de unidades que maximiza el beneficio y calcula a cuánto asciende dicho beneficio máximo.

Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho. Se desea construir una caja sin tapa recortando un cuadrado de lado $x$ en cada una de las esquinas y doblando las solapas resultantes. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como una función polinómica, indica cuál es su dominio válido en el contexto de este problema geométrico y calcula el volumen si se recorta un cuadrado de $5$ cm de lado.

Calcula analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = 2x - 5$.

Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la recta de ecuación $y = mx - 4$ es tangente a la parábola $y = x^2 - 3x + 5$.