Recortas un triángulo de cartulina y quieres equilibrarlo sobre la punta de un lápiz. ¿En qué punto lo apoyas? Ese punto, y otros tres igual de especiales, se calculan con las rectas que ya conoces.
Baricentro
¿Por qué el promedio? $G$ está sobre cada mediana a dos tercios del vértice. Por eso su posición es el promedio de las tres posiciones de los vértices, igual que el punto de equilibrio de tres pesos iguales.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para…
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para colocar un transmisor central, y determina la distancia exacta desde dicho transmisor hasta la antena $C$.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar…
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar un aspersor que equidiste de los tres árboles. Calcula las coordenadas del punto donde debe colocarse (circuncentro) y el radio de alcance del agua necesario para regarlos.
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo…
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo estacionario en el circuncentro del triángulo formado por los refugios. Calcula las coordenadas del helicóptero y el radio de la circunferencia que abarca a los tres refugios.
Para igualar distancias necesitas la distancia de un punto a una recta.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y…
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y $4x+3y-5=0$.
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda…
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda tangente a las tres vías, y el radio de dicha rotonda.
Gracias a esta propiedad basta conocer dos de los tres puntos para encontrar el tercero: $G = \dfrac{H + 2O}{3}$ en coordenadas.
Practica★★☆Sin empezar
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de…
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de la recta de Euler que pasa por ambos puntos.
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra…
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra analíticamente que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es el doble de la distancia entre el baricentro y el circuncentro ($HG = 2GO$).
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con…
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con el origen de coordenadas y su circuncentro es exactamente el punto medio de la hipotenusa.
Un vértice desconocido a partir de un punto notable
A veces conoces el punto notable y te falta un vértice. La idea es usar la propiedad del punto al revés.
Baricentro: de $G = \dfrac{A + B + C}{3}$ sale $C = 3G - A - B$, coordenada por coordenada.
Ortocentro: $C$ está en la recta que pasa por $H$ perpendicular a $AB$, y también en la recta que pasa por $B$ perpendicular a $AH$.
Circuncentro y baricentro: $B + C = 3G - A$ da el punto medio de $BC$; $BC$ es perpendicular a $OM$; y $B$ y $C$ están a distancia $OA$ de $O$.
Practica★★☆Sin empezar
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación…
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación continua de la mediana que parte de dicho vértice.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es…
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es $G(4, 2)$.
Si te dan un vértice y las ecuaciones de dos rectas notables, ubica cada vértice buscado sobre su recta y usa lo que sabes de la recta.
Practica★★★Sin empezar
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones…
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones $x-y+1=0$ y $2x+y-4=0$ respectivamente. Determina las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las…
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Si un vértice depende de un parámetro $t$, el punto notable también. Su trayectoria es un lugar geométrico: se obtiene escribiendo $x$ e $y$ en función de $t$ y eliminando $t$.
Practica★★☆Sin empezar
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado…
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado desigual es $AB$, halla las coordenadas del vértice $C$ y de su circuncentro.
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra…
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo al variar $t$.