Posición relativa de dos rectas
Dos líneas del Metrobús, dos haces láser, dos drones que sobrevuelan la Ciudad de México: si sus trayectorias son rectas, solo hay tres posibilidades. Nunca se cruzan, se cruzan en un punto o resultan ser la misma trayectoria. ¿Puedes saber cuál de las tres es sin hacer ningún dibujo? Con las ecuaciones, sí.
Tres posiciones posibles
El criterio con las pendientes y los coeficientes
Si despejas $y$ en cada recta obtienes $y=mx+b$. Dos rectas con la misma inclinación ($m$) son paralelas o la misma; con distinta inclinación, tarde o temprano se cruzan.
Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.
Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.
Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.
Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.
Comparando vectores directores
Si las rectas vienen en forma paramétrica o simétrica (continua), no hace falta pasarlas a la forma general: se comparan sus vectores directores $\vec{u}_r=(a_1,b_1)$ y $\vec{u}_s=(a_2,b_2)$. Si te dan dos puntos, el vector director es la resta de sus coordenadas.
Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y…
Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.
Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y…
Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprueba si las rutas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula el punto de intersección de las trayectorias en el plano.
Hallar el punto de corte
Si las rectas son secantes, el punto de corte cumple las dos ecuaciones a la vez: se obtiene resolviendo el sistema, con cualquiera de los métodos que ya conoces (igualación, sustitución, suma y resta). Si las ecuaciones son paramétricas, conviene pasarlas a la forma general antes.
Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.
Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.
Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del…
Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del plano donde sus trayectorias se cruzan.
En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores…
En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores ubicados en $P(2, 1)$ y $Q(-2, -1)$. Determina si los haces láser son paralelos, coincidentes o si se cruzan. Si se cruzan, halla el punto exacto de intersección.
Rectas con parámetro
Cuando una recta depende de un parámetro, se impone la condición que pide el problema sobre los coeficientes y se despeja.
Si hay dos parámetros (como $a$ y $b$), el procedimiento es el mismo: primero la condición de direcciones iguales, $A_1B_2=A_2B_1$, que suele dar valores de un solo parámetro; después, para cada uno, se revisa la $C$ (que puede traer al otro parámetro).
Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.
Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.
Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y…
Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y $b$.
Tres rectas
Tres rectas pueden pasar por un mismo punto, formar un triángulo o tener alguna pareja paralela.
Para hallar los vértices del triángulo que forman tres rectas, se resuelven los tres sistemas de dos ecuaciones (cada pareja da un vértice). No se forma triángulo cuando las tres pasan por un punto o cuando dos son paralelas.
Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.
Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.
Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.
Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.
Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores…
Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores del parámetro $a$ para los cuales las tres carreteras se cortan en un único punto o son paralelas entre sí, impidiendo que se forme un triángulo delimitado por ellas.
Paralelas por un punto y haz de rectas
Paralela por un punto. Una recta paralela a $Ax+By+C=0$ tiene los mismos $A$ y $B$ y solo cambia $C$: $Ax+By+C'=0$. Para hallar $C'$, sustituye el punto por el que debe pasar.
Para el paralelogramo: los lados opuestos son paralelos. El cuarto lado es paralela a $t$ y pasa por el vértice que no está en $t$. Cada vértice es la intersección de dos lados.
Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del…
Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del primer y tercer cuadrante ($y = x$).
Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se…
Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se cortan en un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. A continuación, halla la ecuación general de la recta de este haz que es paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.
Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$.…
Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del paralelogramo es el punto $P(4, 4)$, calcula la ecuación de la recta que contiene al cuarto lado y determina las coordenadas exactas de los cuatro vértices.
Rectas perpendiculares y reflexión
Para saber si existe $m$ con trayectorias estrictamente paralelas (como en el ejercicio de los cometas), impón $A_1B_2=A_2B_1$, despeja $m$ y revisa la $C$ en cada solución.
Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que…
Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que ambas rectas sean idénticas. Posteriormente, halla la ecuación general de una recta perpendicular a ambas que pase por el origen de coordenadas.
Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo…
Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto donde la bola impacta con la banda y averigua la ecuación de la recta que describe la trayectoria tras el rebote.
Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún…
Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún momento (valor de $m$) en el que las trayectorias sean estrictamente paralelas. ¿Para qué valores de $m$ las órbitas se cruzan en un único punto?
Vuelve al principio: dos trayectorias rectas se clasifican comparando pendientes, coeficientes o vectores directores; si son secantes, el sistema da el punto de cruce.